Презентация "Лекция 2. Предел функции." – проект, доклад

Лекция 2. Предел функции.

Понятие числовой функции Способы задания функции Характеристики функций Основные элементарные функции Предел функции Односторонние приделы Теоремы о пределах функции Замечательные приделы Бесконечно малые и бесконечно большие величины Примеры

Понятие числовой функции

Понятие функцииявляется одним из основных математических понятий, оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Пусть даны два непустых множествадействительных чисел X и У. Соответствие f, котороекаждому данному числу х ∈X сопоставляет одно и только одно число у ∈Y, называется числовой функцией и записывается у = f(x) Говорят еще, что функция fотображает множество X на множество У.

Переменная х называется аргументом функции или независимой пе­ременной, а у — значением функции или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Множество X называется областью определения функции f и обозна­чается D(f). Множество всех у называется множеством значений функции f и обозначается E(f) Если переменные x и y рассматривать, как декартовы координаты, то графиком функции у = f(x) называется мно­жество точек координатной плоскости ОXY с координатами (x,y).

Способы задания функций

Основные формы аналитического способа задания функции 1) явная форма: функция задается в виде одной или нескольких формул, например ?= ( ? −1) 2 или ?= 1, если ?>0 −1, если ?<0 0, если ?=0 2) неявная форма: функция задается в виде уравнения, например xy-1=0 3) параметрическая форма: значения x и y выражаются через третью величину, называемую параметром, например x=sin t, y=cos t

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений. Графический способ: задается график функции. Преимуществом графического задания является его наглядность, не­достатком — его неточность

Четные и нечетные функции

Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется чет­ной, если для любого х ∈Dвыполняются условия -х ∈D и f(-x)=f(x); нечет­ной, если для любого х ∈D выполняются условия -х ∈D и f(-x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечет­ной — относительно начала координат. Например, y= x 2 ; y= 1+ x 2 ; y=ln x ; — четные функции; y= sin x ; y= x 3 — нечетные функции; у = х — 1, y= x — функцииобщего вида, т. е. не четные и не нечетные

Периодические функции

Функция y= f(x), определенная на множестве D, называетсяnерио­дuческойна этом множестве, если существует такое число T>О, что прикаждом х∈D значение (х + Т)∈Dи f(x + Т) = f(x). При этом число Т называетсяnериодомфункции. Если Т - период функции, то ее периодами будут также числа kТ. где k== ±1; ±2, ... Например, для f= sinxпериодами будут числа ±2π; ±4 π; ±6 π, ...Основной период (наименьший поло­жительный) - это период = 2 π.

Ограниченная фунция

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что для всех значений х∈D выполняется неравенство f(x)≤M, и ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех значений х∈D выполняется неравенство f(x)≥m, Функция, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной Например, f(x)=x2ограничена снизу, (m=0) и не ограничена сверху, ? ? =−?2 ограничена сверху (M=0)и не ограничена снизу. f(x)= sin(x) ограничена сверху M=1 и снизу m=-1

Монотонная функция

Пусть функция f(x) определена на интервале (a,b); Функция f(x) называется возрастающей на (a,b), если для любой пары значений ? 1 ∈ ?,? , ? 2 ∈ ?,? из неравенства ? 1 < ? 2 следует неравенство ?(? 1 )< ?(? 2 ) Если из неравенства ? 1 < ? 2 следует неравенство ?(? 1 )≤ ?(? 2 ), то функция называется неубывающей Функция f(x) называется убывающейна (a,b), если для любой пары значений ? 1 ∈ ?,? , ? 2 ∈ ?,? из неравенства ? 1 < ? 2 следует неравенство ?(? 1 )> ?(? 2 ) Если из неравенства ? 1 < ? 2 следует неравенство ?(? 1 )≥ ?(? 2 ), то функция называется невозрастающей Возрастающие, не возрастающие, убывающие и неубывающие функции называются монотонными

Обратная функция

Пусть функция y=f(x) - числовая функция с областью определения D(f) и множеством значений E(f) Для любого y0∈ E(f) в множестве D(f) найдется хотя бы одно значение x=x0такое, что f(x0)=y0. Если y=f(x) непрерывная и строго монотонная, то это значение x0 единственное Соответствие, относящее каждому числу y0∈ E(f) единственное число x0∈D(f), называют функцией, обратной к функции f, обозначают символом f-1и пишут x=f-1(y) Чтобы найти функцию, обратную данной, нужно решить уравнение f (х) = yотносительно x. Примеры. 1. Для функции y= 2х обратной функцией является функция x= 1 2 y: 2. Для функции y=x2, x∈[0,∞)обратной функцией является?= ?

Свойства Обратной функции

Если функция x=f-1(y) является обратной для функции y=f(x) , то функция y=f(x) будет обратной для функции x=f-1(y) . Т.е. функции y=f(x) и x=f-1(y) являются взаимно обратными. Область определения функции y=f(x) является множеством значений функции x=f-1(y), а множество значений функции y=f(x) - областью определения функции x=f-1(y) Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости OXY

Сложная функция

Пусть y=f(x) – числовая функция с областью определения D(f) и множеством значений E(f), аz=g(y)– числовая функция с областью определения E(f) и множеством значенийE(g) Соответствие, котороекаждому данному числу х ∈D(f)сопоставляет единственное числоy∈E(f), а этому числу y - единственное числоz∈E(g), называется сложной функцией (или суперпозицией за­данных функций, или функцией от функции)и записывается z= g(f(x)) Например , функция z=sin 2x есть суперпозиция двух функцийz=sin y и y=2x

Основные Элементарные функции

Степеннаяфункция ?= ? ?

Показательнаяфункция ?= ? ? , ?>0, ?≠1

Логарифмическая функция ?= log ? ? ,?>0, ?≠1

Тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

Обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x

Элементарная функция

- эта функция, задаваемая одной формулой , составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций функции Примеры элементарных функций ?= ( ? −1) 2 ;?= ln 2+ ? 3 ;?= sin 2?− ln ? Примеры неэлементарных функций ?= 1, если ?>0 −1, если ?<0 0, если ?=0 ?=?+ ? 2 2 − ? 3 3! + ? 4 4! − ? 5 5! …

Предел функции (по Гейне)

Пусть функция f(x) определена во всех точках промежутка (a,b). Построим последовательность значений аргумента функции f(x) x1,x2,x3…..такую, чтобы все xn∈ (a,b) и последовательность сходилась к x0∈ (a,b) lim ?→∞ ? ? = ? 0 Тогда значения функции f(x) тоже образуют числовую последовательность f(x1), f(x2), f(x3)….. Число Aявляется пределом функции f(x)при x, стремящемся к x0, если для любой последовательности значений аргумента, сходящихся к x0, последовательность значений функции сходится к числу A lim ?→ ? 0 ?(?) =?

Генрих Эдуард Гейне (Heinrich Eduard Heine)

(1821-1881) — немецкий математик. Ученик Дирихле. Изучал математику в Гёттингенском университете, Берлинском университете и в Альбертине в Кёнигсберге, был профессором математики в Бонне и в Галле. Занимался теорией потенциала, теорией функций и дифференциальными уравнениями

Предел функции (по коши)

Число А является пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0, lim ?→ ? 0 ?(?) =? если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех x ∈ (a,b), удовлетворяющих неравенству 0< ?− ? 0 <δ выполняется неравенство ?(?)−?

Предел функции (обобщение для ∞)

Пусть функция f(x) определена на интервале (- ∞,+ ∞) Число А является пределом функции f(x) при x, стремящемся к + ∞, lim ?→∞ ? ? =? если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число ∆,зависящее от ε, что для всех x, удовлетворяющих неравенству x>∆ выполняется неравенство ?(?)−?

Функция f(x) стремится к +∞, при стремлении x к x0, lim ?→ ? ? ? ? =+∞ если для любого сколь угодно большого положительного числа Eнайдется такое положительное число δ,что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0< ?− ? 0 <δ выполняется неравенство f(x)

Односторонние пределы

В определении предела функции lim ?→ ? ? ? ? =А считается, что х стремится к x0любым способом: оставаясь меньшим, ­чем x0(слева от x0), большим, чем x0(справа от x0), или колеблясь около точки x0 . Бывают случаи, когда способ приближения аргумента xк x0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов

Пусть f(x) определена на (a,x0) .Число А1является левым пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0слева lim ?→ ? 0 −0 ?(?) = ? 1 если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех x ∈ (a,x0), удовлетворяющих неравенству ? 0 −?<δвыполняется неравенство ?(?)− ? 1

Пределы функции слева и справа называются одностороннимипре­делами. Очевидно, если существует lim ?→ ? 0 ?(?) =?, то существуют и оба односторонних предела, причем А = A1= A2 Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела lim ?→ ? 0 −0 ?(?) = ? 1 и lim ?→ ? 0 +0 ?(?) = ? 2 и они равны, то существует предел lim ?→ ? 0 ?(?) =? Если же A1 ≠ A2,то предел lim ?→ ? 0 ?(?) =? не существует

Теоремы о пределах функций

1) Функция может иметь только один предел 2) Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при?→?, то функции? ? ±? ? , ? ? ∙? ? , ?(?) ?(?) также имеют пределы при ?→?, причем lim ?→? ? ? ±? ? = lim ?→? ?(?)± lim ?→? ?(?) lim ?→? ? ? ∙? ? = lim ?→? ?(?)∙ lim ?→? ?(?) lim ?→? ?(?) ?(?) = lim ?→? ?(?) lim ?→? ?(?)

Следствия Теорем о пределах функций

1)Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim ?→ ? 0 с? ? =? lim ?→ ? 0 ?(?) 2) Предел степени с натуральным показателем равен той же степенипредела: lim ?→ ? 0 (? ? ) ? = ( lim ?→ ? 0 ? ? ) ? , в частности lim ?→ ? 0 ? ? = ? 0 ? ,

Пример 1

Вычислить предел lim ?→1 ? 3 +3 ? 2 +5 2? 2 −?+2 = lim ?→1 ? 3 +3 ? 2 +5 lim ?→1 2? 2 −?+2 = lim ?→1 ? 3 + lim ?→1 3 ? 2 + lim ?→1 5 lim ?→1 2? 2 − lim ?→1 ? + lim ?→1 2 = = lim ?→1 ? 3 +3 lim ?→1 ? 2 +5 2 lim ?→1 ? 2 − lim ?→1 ? +2 = ( lim ?→1 ? ) 3 +3 ( lim ?→1 ? ) 2 +5 2 ( lim ?→1 ? ) 2 −1+2 = 1+3+5 2−1+2 = 9 3 =3 - Использованы теоремы о пределе частного, суммы, произведения

Пример 2

Вычислить предел lim ?→3 2 ? 2 −18 ? 2 −2?−3 = lim ?→3 2 (? 2 −9) ? 2 +?−3?−3 = lim ?→3 2(?+3)(?−3) ?(?+1)−3(?+1) = lim ?→3 2(?+3)(?−3) (?+1)(?−3) = = lim ?→3 2(?+3) ?+1 = 12 4 =3 Числитель и знаменатель разложены на множители, дробь преобразована, затем использованы теоремы о пределе частного, суммы, произведения

Пример 3

Вычислить предел lim ?→2 2?−4 2? −2 = lim ?→2 (2?−4)( 2? +2) ( 2? −2)( 2? +2) = lim ?→2 (2?−4)( 2? +2) 2?−4 = = lim ?→2 2? +2 = 4 Числитель и знаменатель дроби умножен на выражение, сопряженное знаменателю, дробь преобразована, затем использованы теоремы о пределе частного, суммы, произведения

Замечательные приделы

В теории пределов важное место занимают следующие пределы, с помощью которых вычисляются многие пределы от элементарных функций: 1) lim ?→0 sin ? ? =1 2) lim ?→0 (1+?) 1 ? = lim ?→∞ (1+ 1 ? ) ? =? 3) lim ?→0 log ? (1+?) ? = log ? ? , lim ?→0 ln (1+?) ? =1, 4) lim ?→0 ? ? −1 ? = ln ? , lim ?→0 ? ? −1 ? =1, 5) lim ?→0 (1+?) ? −1 ? =?

Пример 4

Вычислить предел lim ?→0 sin ? + sin 3? sin ? − sin 2? = lim ?→0 sin ? + 3sin ?−4 sin 3 ? sin ? − 2sin ? cos ? = = lim ?→0 4 sin ?( 1− sin 2 ? ) sin ? (1− 2 cos ? ) = lim ?→0 4 cos ? 1− 2 cos ? = 4 −1 =−4 Использованытригонометрические формулы двойного и тройного угла, преобразование дроби и первый замечательный придел

Бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при ?→?, если для любого сколь угодно большого положительного числа Eнайдется такое положительное число δ,что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0< ?−? <δ выполняется неравенство |f x |

Примеры Ббф

? ? = 1 ? при?→0 ? ? = t? ? при?→ ? 2

Бесконечно малые функции

Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (БМФ)при ?→?, если для любого сколь угодно малого положительного числа εнайдется такое положительное число δ,что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0< ?−? <δ выполняется неравенство |f x |<ε Т.е. если f(x) стремится к 0, при стремлении x к a lim ?→? ? ? =?

Примеры Бmф

? ? = ? 2 при?→0 ? ? = cos ? при?→ ? 2

Теоремы о бесконечно малых функциях

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция 2) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция Следствие 1 Произведение двух БМФ есть БМФ Следствие 2 Произведение БМФ на число БМФ 3) Частное от деления бесконечномалой функции на функцию, име­ющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция 4) Если функция a(x)— бесконечно малая (?≠0), то функция 1 ?(?) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f{x) — бесконечнобольшая, 1 ?(?) — бесконечно малая

Сравнение бесконечно малых функций

Две БМФ сравниваются между собой с помощью их отношения. Как известно, сумма, разность и произведение двух БМФ. есть БМФ. Отношение же двух БМФ может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Пусть ?=? ? и ?=? ? −две БМФ при ?→ ? 0 . lim ?→ ? ? ? ? =?, lim ?→ ? ? ? ? =? 1) Если lim ?→ ? ? ? ? =?≠? , то ? и ?- бесконечно малые одного порядка 2) Если lim ?→ ? ? ? ? =? , то ? - бесконечно малая более высокого порядка, чем ? 3) Если lim ?→ ? ? ? ? =∞ , то ? - бесконечно малая более низкого порядка,чем ? 4) Если lim ?→ ? ? ? ? не существует, то ? и ?- несравнимые бесконечно малые

Эквивалентные бесконечно малые функции

Если lim ?→ ? ? ? ? =? , то ? и ?- эквивалентные бесконечно малые ?~? эквивалентные бесконечно малые играют особую роль среди БМФ одного порядка Т.1. Предел отношения двух БМФ не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей БМФ. Т.2. Разность двух эквивалентных БМФ есть БМФ более высокого порядка, чем каждая из них. Т.3, Сумма конечного числа БМФ разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Основные Эквивалентные бесконечно малые функции

Пример 5

Вычислить предел lim ?→0 t? 2? sin 3? Так как sin 3? ~3? и t? 2?~2? , то lim ?→0 t? 2? sin 3? = lim ?→0 2? 3? = 2 3