Презентация "Решение нелинейных уравнений в системе matlab" – проект, доклад

Решение нелинейных уравнений в системе Matlab

Морева Галина 12БИ-1

НИУ ВШЭ НФ 2012

Научиться решать в Matlab алгебраические и трансцендентные уравнения Ознакомление с такими функциями как fzero, poly, roots и solve Изучение нелинейных систем уравнений и их решение

Цели:

Любое уравнение вида Р(х)=0 называется алгебраическим уравнением (полиномом) относительно переменных Х. Такое уравнение можно записать в виде: а0хn+ a1xn-1 + … + аn-1х+аn=0 а0 ≠ 0, n ≥ 1, аi - коэффициент уравнения

Алгебраические уравнения

В Matlab полином задается и хранится в виде вектора, элементами которого являются коэффициенты от a0 до an

conv(p1, р2) - вычисляет произведение двух полиномов; deconv(pl, р2) -осуществляет деление полинома p1 на полином р2 polyval(p1, х) - вычисляет значение полинома с коэффициентами p1 в точке х; polyder (p1 [, р2]) - вычисляет производную от полинома

Функции для действий над полиномами

Решить алгебраическое уравнение в Matlab можно при помощи встроенной функции roots(p). Она формирует вектор, элементы которого являются корнями полинома с коэффициентами “p” Общий вид: r = roots(p), где p=[p1 p2 ... pn pn+1]

Функция roots(p)

p = [1 3 5 7] r = roots(p) Результат:

Вычислим корни полинома: p(x) = x3 + 3x2 + 5x +7

x=-1:0.1:3; y=polyval(p,x); plot(x,y,'-k'),grid

Графическое решение

Функция poly(A)

Функция p = poly(A), где A - матрица порядка n, вычисляет вектор-строку коэффициентов полинома p(s) p(s) = det(sI - A) = p1sn + p2sn-1 + ... + pns + pn+1 Функция p = poly(r), где r - вектор-столбец корней некоторого полинома, вычисляет вектор-строку коэффициентов этого полинома.

Рассмотрим рациональную матрицу А, вычисляя коэффициенты характеристического полинома, его корни и по ним вновь восстановим этот полином

A=[-5/3 -1 -2/3; -5/6 1/4 11/12; 1/6 -17/4 -19/12] p=poly(A) r=roots(p) p=poly(r)

Результат

Трансцендентное уравнение — это уравнение вида f(x)=g(x) , где функции f и g являются аналитическими функциями

Трансцендентные уравнения

В уравнениях данного вида число корней может быть любым, их также может быть бесконечно много. Для этого можно привести простой пример, в котором требуется найти корни уравнения: sinX – 1/x=0

Построим графики в Matlab с помощью функции fplot: figure axes fplot('1/x', [-20 -0.5]) hold on fplot('1/x', [0.5 20]) fplot('sin(x)', [-20 20], 'r') grid on

Функция z = fzero(‘<имя функции>‘, x0) находит нуль функции в окрестности точки x0. Функция z = fzero(‘<имя функции>‘, x0, tol) возвращает результат с относительной погрешностью tol, задаваемой пользователем. По умолчанию tol = eps. Функция z = fzero(‘<имя функции>‘, x0, tol, trace) позволяет выдавать на экран терминала промежуточные результаты поиска нуля функции.

Функция fzero

x = fzero(@sin,3) Результат: x = 3.1416

Рассчитать π с помощью нахождения нуля функции sin при x0=3.

x = fzero(@cos,[1 2]) Результат: x = 1.5708

Найти нуль функции cos между 1 и 2

В MATLAB систему нелинейных уравнений решает функция solve(). Решим данную систему уравнений:

Решение систем уравнений

syms x y; solve(‘a*x+b/y=2’,‘b/x+a*y=2*a*b’) syms x y – создание символьных матриц

Спасибо за внимание