Презентация "Решение уравнений с помощью численных методов" – проект, доклад

Решение уравнений с помощью численных методов

метод половинного деления (дихотомии) предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)< 0, тогда на отрезке имеется хотя бы один корень. Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с) <=0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной (b-a)<

метод половинного деления

Так как каждое очередное вычисление f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n< , или n~log2((b-a)/ ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ~ 10-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

итерационные методы - методы последовательных приближений. Здесь задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Пусть известно некоторое приближенное значение Хn корня X. Нужно найти следующее приближение корня Хn+1. Формула метода касательных:

В качестве исходной точки х выбирается тот конец интервала [a,b], которому ордината того же знака, что и знак второй производной, т.е. —x = a или — х = b. Корень можно найти с любой степенью точности е. это означает, что . Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

Приближенное вычисление интеграла

Определённый интеграл

Можно трактовать как площадь подынтегральной функции (криволинейной трапеции) на отрезке [a;b]

x у 0 f(x) a b = S

В простейшем случае, когда известна первообразная F(x), интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

Для большинства функций нахождение первообразной сложно или невозможно. Тогда применяется приближённое (численное) интегрирование.

= F(b)-F(a)

Пусть функция f(x) определена на отрезке [а;b].

Требуется: приближенно вычислить определённый интеграл

Суть метода: разобьём отрезок [а,b] на n равных отрезков длины h=(b-a)/n, разрезая фигуру под функцией f(x) на n полосок, считая их прямоугольниками.

Тогда S  Si , при n Si  S

Метод левых прямоугольников

Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его левую сторону, то Si = f(xi-1)*h

S=(f(a)+ f(x1)+…+f(xn-1))*h

Вычислить по методу левых прямоугольников: program integral; var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real; function f(x:real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; x0:=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=x0+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln('Интеграл равен ',s:12:10); end.

Метод правых прямоугольников

Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его правую сторону, то Si = f(xi)*h

S=(f(x1)+…+f(xn-1)+ f(b))*h

Метод трапеций

Если построить не прямоугольники, а трапеции, то Si=(f(xi)+ f(xi-1))/2*h

S = (f(a)/2 + f(x1) + …+ f(xn-1)+ f(b)/2)*h

Метод Монте-Карло

Остроумный метод приближенного вычисления площадей сложных фигур – метод Монте-Карло – назван в честь города в княжестве Монако, где находятся всемирно известные казино (рулетка).

И как это ни парадоксально, но совершенно случайное помогает в вычислении строго определённого.

Дана фигура сложной формы.

Требуется: вычислить площадь этой фигуры.

Суть метода: поместим фигуру в квадрат со стороной а.

Будем наугад, т. е. случайным образом бросать точки в этот квадрат.

Таким образом, при большом числе точек доля точек, содержащихся в фигуре, приближённо равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата:

M – кол-во точек в фигуре, N – кол-во точек в квадрате