Презентация "Сечение пирамиды" (11 класс) – проект, доклад

Сечение пирамиды

Анастасия Изместьева 12 класс

История

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции.

Учёные

Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Значение в математике

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Формулы

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S — площадь основания и h — высота; Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания: Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы: где a — апофема , — P периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро, a— плоский угол при вершине пирамиды.

Применение в жизни

Пирамида — вид архитектурного сооружения в форме пирамиды. Финансовая пирамида — способ получения дохода за счёт постоянного расширяющегося привлечения денежных средств от новых участников. Пирамида — элемент художественной, силовой и пластической акробатики, групповое расположение акробатов, которые, поддерживая друг друга, образуют сложные фигуры.

Пирамида в архитектуре

Пирамида в спорте В экономике

Решение задач

В разделе “Свойства сечения пирамиды плоскостью,параллельной основанию “ придлогается для рассмотрения 2 теоремы .

Теорема1.Сечение пирамиды плоскостью,параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию.

Теорема2.Отношение площади основания пирамиды к площади её параллельного основанию сечения равно отношению квадратов высот соответствующих пирамид.

Рассмотрим каждую теорему

Доказательство. Два многоугольника подобны, если их соответственные стороны пропорциональны и соответственные углы равны. Углы рассматриваемых многоугольников, вершины которых расположены на одном и том же ребре, равны, так как их стороны параллельны и одинаково направлены.Согласно теореме Фалеса параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки .Поэтому A1SB1~ASB,B1SC1 ~ BSC и, следовательно , A1B1/AB = SB1/SB и B1C1/BC = SB1/SB ,откуда A1B1/AB = B1C1/BC Последнее равенство означает ,что для одной пары соответственных и равных углов прилежащие к ним соответственные стороны многоугольников пропорциональны .Аналогично доказательству равенство всех остальных соответственных углов и пропорциональность соответственных сторон: A1B1/AB = B1C1/BC = C1D1/CD= D1E1/DE= E1A1/EA

Доказательство. Проведём к призме высоту SO и пусть O1 -основание высоты пирамиды, отсекаемой от исходной пирамиды данным сечением. Обозначим через Sосн площадь исходной пирамиды и через Sс-площадь сечения .Треугольники SB1O1 и SBO подобны (почему?) и поэтому SB1/SB= SO1/SO . При доказательстве предыдущей теоремы мы убедились в том , что SB1/SB = A1B1/AB и поэтому SO1/SO= A1B1/AB ..Как мы знаем , площади подобных многоугольников относиться как квадраты их соответственных сторон . Следовательно ,Sсеч/Sосн = A1B1²/AB²,или Sсеч/Sосн = SO1²/SO²

задача

Все боковые ребра пирамиды равны между собой .Какие фигуры могут лежать в основании этой пирамиды ? Прямоугольник Ромб Треугольник Параллелограмм Прямоугольная трапеция

Благодарю за внимание!