Презентация "Уравнение Шредингера" по физике – проект, доклад

Уравнение Шредингера

Лекция 7

§§ Волновая функция (ВФ)

Состояние частицы описывается волной

A – амплитуда волны

ω – частота λ – длина волны

x – координата (не координата частицы)

§§ Уравнение Шредингера

Для частицы:

Связь энергии и импульса

Найдем E и P2 из волновой функции

т.к. , то

одномерное уравнение Шредингера для свободной частицы

Пусть

Тогда получаем УШ для стационарных состояний свободной частицы

§§ Частица в силовом поле

Пусть U(x) – потенциальная энергия частицы в стационарном СП, тогда

– УШ для стационарных состояний

Получаем

Поскольку (интенсивность) – величина, пропорциональная вероятности обнаружить частицу,

– вероятность обнаружения частицы в интервале [x, x+dx].

Во всем пространстве

то необходимо ввести нормировку.

Пример: дифракция электронов

Перемещая детектор можно построить график плотности вероятности обнаружения электронов |ψ2|

Саму волновую функцию на опыте получить не удается

Пример 2: интерференция электронов

§§ Свойства УШ и решения

Явления, в которых постоянная h играет существенную роль, называют квантовыми.

УШ – основной закон квантовой механики, учитывающий корпускулярно-волновой дуализм.

Рассмотрим его решение – волновую функцию частицы в случае U(x) = const.

Область применимости: энергия мала по сравнению с энергией покоя частицы.

1) E > U 2) E < U

Если U(x) – сложная функция или содержит несколько областей,

то на решение (т.е. на ψ(x)) накладывают следующие условия:

– конечная, однозначная и непрерывная для всех x

2) – условие нормировки

Вид потенциальной функции U(x) и определяет характер движения частицы.

(ее квадрат – интегрируем)

существует только при определенных значениях E = {E1, E2, … , EN, …},

а функции ψ = {ψ1, ψ2, …, ψN,…} при этих значениях называются собственными функциями

Решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этим условиям,

которые называются собственными значениями,

§§ Потенциальные барьеры

Рассмотрим частицу с энергией E, которая проходит через границу двумя значениями потенциала U:

барьер типа «ступенька»

ВФ для микрочастицы:

1) Пусть E > U0 (надбарьерное отражение)

В классическом случае частица будет двигаться с энергией E–U0

Амплитуды падающей и отраженной волны находятся из условий непрерывности и однозначности ВФ:

В классическом случае частица преодолеть барьер не сможет и отразится

Вероятность обнаружить частицу в области x > 0 не равна нулю

2) Пусть E < U0 (подбарьерное отражение)

и, если ширина барьера конечна, то выражения описывают «туннельный» эффект.

§§ Потенциальная яма

U(x) – зависимость потенциальной энергии, которая известна с точностью до произвольной постоянной

Пусть U(x) описывает потенциальную яму прямоугольной формы.

Часто движение частицы происходит в конечном объеме (тело, атом, ядро)

В большинстве случаев вид реальной U(x) либо очень сложен, либо неизвестен

– случай бесконечно глубокой потенциальной ямы

свободная частица

частица в яме I II III

, где

граничные условия:

т.е. решение задачи возможно только при определенных значениях n.

собственные значения энергии

Собственные функции

должны удовлетворять условию нормировки:

Один из способов изображения частицы – это изображение ψ2 в виде «облака», где высокая плотность соответствует высокой вероятности ее обнаружения

Выводы:

1) у связанной частицы не может быть состояния с E = 0.

2) движение частицы в яме возможно только при определенных E

3) вид функции ψ(x) несовместим с классическим понятием траектории, когда все положения равновероятны

Спектр E – дискретный и En ~ n2.

§§ Атом водорода

Рассмотрим атом с порядковым номером Z, который имеет 1 электрон (H,He+,Li++)

Потенциал электрического поля:

Спектр собственных значений энергии

Собственные функции электрона:

уравнения Шредингера:

УШ решают в сферической СК

Квантовые числа

n = 1, 2, 3, … – главное (r)

l = 1, 2, 3, …n–1 – азимутальное (орбитальное, θ)

m = –l,…, –1, 0, 1, …, l – магнитное (φ)

Каждому значению En соответствует несколько волновых функций с разными l и m,

Такие состояния называются вырожденными,

Для уровня En кратность вырождения составляет n2

т.е. электрон может находится в нескольких состояниях с одной энергией.

а число таких состояний называется кратностью вырождения.

(2n2 – если учитывать спин)

n = 1, l = 0, m = 0 (1S-орбиталь)

n = 2, l = 0, m = 0 (2S-орбиталь)

n = 2, l = 1, m = 0 (2P-орбиталь)

n = 2, l = 1, m = ±1 (2P-орбиталь)

Электронное облако для S-состояния имеет шаровую симметрию

с характерным радиусом 0,5(S1)–5Å(S3).

25

Электронное облако для P-состояния имеет вид «гантели»

§§ Правило отбора

Переходы электрона между уровнями возможны только с Δl = ±1.

Фотон изменяет момент атома, т.к. обладает спином S = ±1

При других переходах атом не излучает энергию или они невозможны.

§§ Многоэлектронные атомы

Атом с порядковым номером Z содержит Z электронов, которые двигаются в поле ядра и других электронов.

Состояние электрона определяют три квантовых числа:

n – главное квантовое число (1, 2, ...)

l – орбитальное квантовое число l = 0(s), l = 1(p), l = 2(d), l = 3( f )

m = ml – орбитальное магнитное квантовое число

К тройке добавим еще одно квантовое число.

Электрон обладает спином – внутренним (собственным) моментом количества движения.

ms = ±½ – спиновое квантовое число

– собственный механический момент электрона

Наличие у электрона спина объясняет тонкую структуру спектров, расщепление линий в магнитных полях и порядок заполнения электронных оболочек в атомах

Принцип (запрета) Паули

В квантовой системе (атоме)

Иными словами,

в одном и том же состоянии не могут одновременно находится 2 электрона

не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью четырех квантовых чисел n, l, ml, ms.

Совокупность электронов с одинаковым n образуют слой, с одинаковыми n и l – образуют оболочку.

Пример: электронная конфигурация основного состояния атома 11Na (Z = 11)

11Na = 1s2 2s2 2p6 3s1

10Ne – неон, инертный газ, атом с завершенным слоем

= (Ne)10 3s1 17Cl = (Ne)10 3s23p5

§§ Энергетические зоны

Описание системы взаимодействующих электронов и ядер связано с расчетными и математическими трудностями.

Теория конденсированного вещества строится на основе квантовой механики

Рассмотрим радикально упрощенную одномерную модель.

Сейчас есть возможность проводить такие расчеты из первых принципов

Тогда каждый из них – электрически нейтрален и обладает собственной системой энергетических уровней.

Пусть атомы находятся далеко друг от друга.

a – межъядерное расстояние

На малом расстоянии электронные уровни смещаются из-за действия поля соседних атомов,

при этом снимается вырождение с сохранением общего числа уровней

Далее оба атома следует рассматривать как одну квантовую систему

Рассмотрим твердое тело (N = ∞)

Совокупность большого числа уровней образует энергетические зоны

разрешенные – электроны могут иметь данную энергию

и запрещенные (нет)

При заполнении разрешенных зон принцип запрета остается справедливым

При T = 0 заполняются сначала уровни с минимальной энергией.

заполненные зоны свободная зона

ΔE – ширина запрещенной зоны

Электроны полностью заполненных энергетических зон не участвуют в процессах переноса

При ΔE ≥ 5 эВ на рисунке – зонная структура диэлектрика

При ΔE = 0,1 – 3 эВ получаем зонную структуру полупроводника,

где даже небольшое повышение температуры приводит к переходу электронов в свободную зону

Появляется проводимость

Энергетическая схема для проводника.

Электроны частично заполненной зоны участвуют в процессах переноса

Энергетическая структура реального кристалла зависит от свойств отдельных атомов и их взаимного расположения

Возможны также и перекрытия зон в некоторых направлениях

(электро- и теплопроводность)

§§ Вынужденное излучение

Вероятность заселения уровня определяется законом Больцмана

При термодинамическом равновесии число частиц на верхнем уровне значительно меньше, чем на нижнем.

Атомы могут взаимодействовать со светом, поглощая или испуская фотоны.

Если атом переходит с уровня Em на уровень En, то произойдет излучение кванта с энергией

Вероятность перехода атома

P = Pсп + Pвын

Pсп– вероятность спонтанного излучения

Pвын– вероятность вынужденного излучения,

линейно зависящая от плотности поля на данной частоте

Если система находится в состоянии равновесия, то она будет поглощать проходящее через нее излучение

При работе генераторов и усилителей создают инверсию заселенностей.

С помощью накачки переводят как можно большее число частиц в возбужденное состояние.

В этом случае среда усиливает проходящий поток.

Схема лазера оптического квантового генератора

Многократно отразившись от зеркал резонатора из лазера выходит свет, обладающий высокой когерентностью и монохроматичностью.

§§ Типы лазеров

Лазеры классифицируют по агрегатному состоянию рабочего тела:

1) твердотельные 2) газовые 3) жидкостные

В твердотельных рабочим ансамблем являются примесные атомы, введенные в основную матрицу твердого тела.

– корунд (Al2O3), кристалл, примесь – Cr (хром)

– стекло, аморфное тело, примесь – Nd (неодим)

Примеры: рубиновый лазер неодимовый лазер

Накачка у таких лазеров осуществляется с помощью газоразрядной лампы (оптическая накачка).

КПД – доли %, поэтому такие лазеры требуют интенсивного охлаждения.

Газовые лазеры:

1) атомарные – лазеры на инертных газах (He, Ne, Ar, Kr, He-Ne)

2) ионные

Энергетические уровни ионов лежат выше, чем у атомов и более высокую вероятность перехода.

3) молекулярные

используют вращательные и колебательные уровни молекул

КПД выше, чем у 1) и 2)

Жидкостные лазеры имеют в качестве рабочего тела неорганическую жидкость

или раствор органических красителей

Используется оптическая накачка

Полупроводниковые лазеры

в качестве рабочего тела используют кристалл полупроводника.

Если п/п – однородный, то инверсия заселенности достигается бомбанди- ровкой электронным пучком или оптической накачкой.

Если п/п – неоднородный, то инверсию осуществляют инжекцией носителей тока под действием приложенной разности потенциалов.

Химические лазеры

Инверсия заселенности возникает при химической реакции, которая проходит при фотодиссоциации молекул или электрическом разряде