Презентация на тему Определение напряжений на различных площадках

Определение напряжений на различных площадках

Напряжения на наклонных площадках

Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью

Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали  с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке -  и . Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади: dFx = dFl, dFy = dFm, dFz = dFn.

Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х: Х = 0, PxdF - xdFx - yxdFy - zxdFz = 0, PxdF - xdFl - yxdFm - zxdFn = 0, Px = xl + yxm + zxn. Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z Py = xyl +ym + zyn, Pz = xzl + yzm +zn.

Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.  = Pxl + Pym + Pzn = =(xl + yxm + zxn)l + (xyl +ym + zyn)m + + (xzl + yzm +zn)n = = xl2 + yxml + zxnl + xylm +ym2 + zynm + xzln + yzmn +zn2

 Px Py Pz

С учетом закона парности касательных напряжений (yx= xy, yz= zy, zx= xz), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:  = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке: Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = 2 + 2, 2= Px2 + Pу2+ Pz2 - 2.

Главные площадки и главные напряжения

Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю.

Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения (=0). Px = l, Pу = m, Pz = n.

Проекции по координатным осям: Px = xl + yxm + zxn = l, Pу = xyl + ym + zyn = m, Pz = xzl + yzm + zn = n. В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение ), поэтому необходимо четвертое уравнение: (x - )l + yxm + zxn = 0 xyl + (y - )m + zyn = 0 xzl + yzm + (z - )n = 0 l2 + m2 + n2 = 1

Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы: x -  yx zx xy y -  zy = 0 xz yz z -  Раскроем определитель (x - )(y - )(z - ) + yxzyxz + xyyzzx - xz(y - )zx - xyyx(z - ) - yzzy(x - ) = 0.

Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения - 3 + 2(x + y + z) - (yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2) + (xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - - хуz2) = 0. Запишем это уравнение в более компактной форме 3 – I12 + I2 – I3 = 0 где I1 = x + y + z, I2 = yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2, I3 = xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - хуz2

Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат. Решая кубическое уравнение, получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: 1  2  3. Подставляя величину главного напряжения в систему, можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.

Виды напряженных состояний в точке

Объемное (трехосное) напряженное состояние I10, I20, I30, следовательно три главных напряжения отлично от нуля. Плоское (двухосное) напряженное состояние I10, I20, I3=0, следовательно два главных напряжения отлично от нуля. Чистый сдвиг (частный случай плоского) I1=0, I20, I3=0, следовательно два главных напряжения отлично от нуля (причем 1 =-3). Линейное (одноосное) напряженное состояние I10, I2=0, I3=0, следовательно одно главное напряжение отлично от нуля.

Примеры различных видов напряженных состояний

Объемное- возникает во время объемной штамповки

Плоское-возникает при изгибе или изгибе с кручением

Чистый сдвиг-возникает при кручении

Линейное- возникает при растяжении-сжатии

Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора

 = 1l2 + 2m2 + 3n2 Pх= 1l Pу= 2m Pz= 3n Р2 = Pх2+ Pу2 + Pz2 = 12l2 + 22m2 + 32n2

 = 1l2 + 2m2 + 3n2 2 + 2 = 12l2 + 22m2 + 32n2 1 = l2 + m2 + n2 Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам а + b(2 + 2) + с = = l2(а1 + b12 + с) + m 2(а2 + b22 + с) + +n2(а3 + b32 + с)

Для определения величины l2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения обнулились: а2 + b22 + с = 0, а3 + b32 + с = 0, получаем b= 1, a= -(2 +3), с = 23. Подставляя полученные коэффициенты в уравнение , находим величину l2: l2= ?∙+  2 + ? 2 +? ?∙  1 +?∙  1 2+? = − 2+3 ∙+  2 + ? 2 +2∙3 − 2+3 ∙1+ 1 2 +2∙3

Упрощая получим: l2= −2 ∙ −3 + ? 2 1−2 ∙ 1−3 аналогичнонаходим квадраты двух других направляющих косинусов: m2= −3 ∙ −1 + ? 2 2−3 ∙ 2−1 n2= −1 ∙ −2 + ? 2 3−1 ∙ 3−2

В уравнениях дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства 1 2 3: 1−2 ∙ 1−3  0, 2−3 ∙ 2−1  0, 3−1 ∙ 3−2 0. На основе неравенств можно сделать вывод о знаке числителя: −2 ∙ −3 + ? 2  0, −3 ∙ −1 + ? 2 0, −1 ∙ −2 + ? 2 0.

Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически: (- 1+2 2 )2+2  ( 1−2 2 )2

Представим решение системы графически. Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

(- 2+3 2 )2+2  ( 2−3 2 )2

(- 1+3 2 )2+2≤( 1−3 2 )2

(- 1+2 2 )2+2  ( 1−2 2 )2

1 - максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; 3 - минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; max = 1−3 2 - максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45.