Презентация "Скорость движения" по физике – проект, доклад

2.3. Кинематика поступательного движения

Исключая время t в уравнениях (2.1) и (2.2) получим уравнение траектории движения материальной точки. Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным (поступательным), криволинейным и вращательным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории. Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материаль-ной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути ∆S и является скалярной функцией времени: ∆S=∆S(t)

Модель: Движение тела в поле тяжести Земли

Содержание

Пусть материальная точка движется по какой–либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус–вектор . В течение малого промежутка времени точка пройдет путь ∆S и получит элементарное (бесконечно малое ) перемещение

Вектором средней скорости называется приращение радиус–вектора точки к промежутку времени t : (2.3)

2.4. Скорость

Мгновенная скорость – векторная величина, равная скорости материальной точки в фиксированный момент времени. Мгновенная скорость – векторная величина, равная первой производной радиус–вектора движущейся точки по времени.

Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения, поэтому модуль мгновенной скорости Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени (2.4)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной  – средней скоростью неравномерного движения . Из рис. 3 вытекает, что , так как , и только в случае прямолинейного движения . Если выражение ds=dt (см. формулу 2.4) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+∆t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время ∆t: (2.5)

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.5) примет вид: Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2 дается интегралом:

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению является ускорение. Рассмотрим плоское движение, то есть движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время t движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и по направлению и равную

2.5. Ускорение и его составляющие.

Перенесем вектор в точку А и найдем (рис.4). Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис.4) по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости за время t по модулю: =1-

Рис. 4

Вторая же составляющая характеризует изменение скорости за время t по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому можно считать дугу окружности радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и ЕАД следует n /AB= 1 /r, но т.к. AB = ·t , то

В пределе при ∆t→0 получим . Поскольку , угол ЕАD стремится к нулю, и т.к. треугольник ЕАD равнобедренный, то угол АDЕ между и стремится к прямому. Следовательно, при ∆t→0 векторы и оказываются взаимно перпен-дикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1. a = 0, an= 0 – прямолинейное равномерное движение;

2. a = a = const, an = 0 – прямолинейное равнопеременное движение.

При таком виде движения . Если начальный момент времени t1=0 , а начальная скорость 1 =0, то, обозначив t2= t и 2 =, получим a = ( - 0)/t, откуда

3. a = f(t), an = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением.

4. a = 0, an=const. При a = 0 скорость по модулю не меняется, а изменяется по направлению. Из формулы an= 2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным.

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента t, найдем, что длина пути пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

5. a = 0, an  0 – равномерное криволинейное движение.

6. a = const, an  0 – криволинейное равнопеременное движение.

7. a = f(t), an  0 - криволинейное движение с переменным ускорением.

Задачи

Маленький шарик начинает скатываться без начальной скорости с вершины абсолютно гладкой полусферы радиуса R. На какой высоте он оторвётся от поверхности. Ответ: 2R/3 Цилиндр радиуса R лежит на двух тонких стержнях. С какой относительной скоростью V должны раздвигаться стержни, чтобы падения цилиндра происходило без контакта с ними. Ответ: С какой скоростью шарик должен двигаться по верхней ступени лестницы, чтобы удариться о среднюю и нижнюю ступень только по одному разу. Ширина и высота ступеней - b. Ответ:

Лекция окончена!

Движение в поле тяжести Земли

Рассмотрим движение свободного тела в присутствии гравитационного поля Земли на примере выстрела из пушки. Если пушка расположена в точке с коорди-натами (0, 0, 0), то снаряд будет двигаться по траектории, которая описывается следующими уравнениями:

X=(cos)t Y = (sin)t - gt2/2, где  - скорость снаряда вдоль ствола пушки,  - угол между стволом пушки и горизонтом (ось X), t - время, g - ускорение свободного падения в поле тяжести Земли. Подставляя t из первого уравнения во второе, находим уравнение траектории движения снаряда: Y = X tg  - (g/2  2)(1 + tg2 ) X2

Дальше

Из приведённого выше уравнения видно, что траектория полёта снаряда имеет параболическую форму. Из этого уравнения находим максимальную дальность стрельбы Xmax (при этом Y=0) и максимальную высоту полёта Ymax (первая производная Y по координате X равна нулю): Xmax = 2sin(2 )/g Ymax = 2sin2 /2g Из первого уравнения видно, что максимальная дальность полёта снаряда достигается при стрельбе под углом , равном 45°.

Назад