Свойства правильного многоугольника.

• Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают

• Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.

• Сторона a_n правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулойan=2Rsinn180=2Rsinn.

• Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

Формулы

Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен r=Rcosn , а длина стороны многоугольника равна a=2Rsinn .

• Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны aсоставляет S=4na2ctgn .

• Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет S=2nR2sinn2 .

• Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r составляет S=nr2tgn .

Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны;  — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a

S = ab sin 

S = pr

2. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

S = ab

S = ch_c

3. Равносторонний треугольник

Площадь треугольника

Теорема 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне S = a • h. 

 

 

Доказательство 

Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD. 
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и 

 

Теорема доказана.

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S = a²

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

S = 1/n² = (1/n)² = a².   (1)

Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10ⁿ целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m² равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10ⁿ) = 1/10ⁿ.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10ⁿ)². Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m² · (1/10ⁿ)² = (m/10ⁿ)² = ((a · 10ⁿ)/10ⁿ)² = a².

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из aотбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10ⁿ, то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10ⁿ, откуда

a_n² ≤ a² ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10ⁿ:

т. е. между a_n² и (a_n + 1/10ⁿ)²:

a_n² ≤ S ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10ⁿ)² будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n². Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r²,
S = 2R²,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
S = ab.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S.
Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке 1.

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата равна (a + b)².
С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (так как, по свойству площадей, равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a² и b². Так как четырехугольник составлен из нескольких четырехугольников, то, по свойству площадей, его площадь равна сумме площадей этих четырехугольников:
(a + b)² = S + S + a² + b², или a² + 2ab + b² = 2S + a² + b².
Отсуда получаем: S = ab, что и требовалось доказать.

Площадь параллелограмма

 

Теорема 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне S = a • h. 

Доказательство 

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый. 
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a • h. Теорема доказана.

Площадь ромба

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = (AC · BD) / 2.

Доказательство.

Пусть АВСD — ромб, АС и BD — диагонали.

Тогда S_ABCD = S_ABC + S_ACD = (AC · BO) / 2 + (AC · DO) / 2 = AC(BO + DO) / 2 = (AC · BD) / 2.
Что и требовалось доказать.

Так же площадь ромба можно найти с помощью следующих формул:

1. S = a · H, где a — сторона, H — высота ромба.

2. S = a² · sin α, где α — угол между сторонами, a — сторона ромба.

3. S = 4r² / sin α, где r — радиус вписанной окружности, α — угол между сторонами.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD иBC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABC = AD · BH / 2, S_BCD = BC · DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Теорема доказана.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.

2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r² / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

3. ,
   где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.