Конспект урока «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде» по геометрии для 10 класса

Открытый урок по геометрии в 10 классе

Тема: «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде»

Цели урока:

1. Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики уже имеют по данной теме; активизировать работу по применению этих знаний для нахождения расстояний между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде.

2. Развивающие: формировать пространственное воображение, развивать логическое мышление, умение распознавать на чертежах пространственные формы; проводить доказательные рассуждения, делать выводы, используя необходимые теоремы и свойства фигур на плоскости и в пространстве.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к геометрии, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Структура урока

1. Подготовительный этап.

2. Актуализация знаний, умений и навыков.

3. Обобщение и систематизация.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

5. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1. Подготовительный этап (5 мин.).

– Проверим домашнее задание.

№ 187(б) – с места ответ.

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8, 9, 12.

№190(а) – с места ответ, обсуждая по рисунку.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ABB₁C

Двугранный угол ABB₁C – это угол между плоскостями (ABB₁) и (BB₁C), он равен линейному углу A₁B₁C₁.

Ответ: 90º.

№190(б) – с места ответ, обсуждая по рисунку.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADD₁B

Двугранный угол ADD₁B – это угол между плоскостями (ADD₁) и (BDD₁), он равен линейному углу ADB. Так как ABCD – куб, то угол ADB равен 45º.

Ответ: 45º.

2. Актуализация знаний, умений и навыков (2 мин.).

– Проверим знание формулировок тех теорем, которые будут использоваться сегодня на уроке (спрашивать с места по одному ученику):

1. Признак параллельности прямой и плоскости

– Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

– Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

3. Признак перпендикулярности двух плоскостей

– Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

4. Теорема о трех перпендикулярах

– Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

3. Обобщение и систематизация (10 мин.).

– Тема урока: «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде».

– Сначала вспомним и систематизируем все, что вы уже знаете о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. Для этого посмотрим на экран.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется заголовок и рисунок. Ученики сами отвечают, формулируя определения соответствующих расстояний. После этого на слайде по щелчку мыши появляется формулировка.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме (21 мин.).

– Теперь давайте устно решим несколько простых задач, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики находят расстояние и объясняют, почему именно оно является искомым. После этого на слайде по щелчку мыши выделяется красным цветом соответствующий отрезок и появляется ответ.

Замечание: если возникнут трудности при решении этой задачи, то ее решение нужно законспектировать в тетрадь.

– Следующие две задачи требуют более подробного решения, поэтому их решение мы запишем в тетрадях.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики обсуждают условие задачи и указывают, какой отрезок будет искомым расстоянием. При этом они должны доказать, опираясь на признаки перпендикулярности, почему это расстояние будет искомым.

Пояснение к задаче.

В процессе обсуждения доказательства на слайде по щелчку появляются пункты решения и проводятся соответствующие построения на рисунке. При появлении последнего пункта решения на рисунке красным цветом выделяется искомый отрезок. После того как ученики вычислят нужное расстояние, появляется ответ.

Пояснение к задаче.

Решение и соответствующая анимация проходят в такой же последовательности, как в предыдущей задаче.

Нужно обратить внимание учеников на то, что в этой задаче фактически находится то же самое расстояние. Ученики должны понять, что куб можно поставить на грань BCC₁B₁ как на основание. Тогда данная задача легко сводится к предыдущей (расстояние между прямой AB и плоскостью A₁B₁C будет равно расстоянию от точки B до плоскости A₁B₁C).

5. Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).

1. В начале урока вспомнили основные теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

2. Потом мы с вами систематизировали знания о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве.

3. Затем решили задачи, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде. В этих задачах использовали систематизированные выше знания о расстояниях.

4. Домашнее задание:

№189 – задача на расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, только куб не единичный, а с заданной диагональю либо грани, либо параллелепипеда;

193(в) – задача на расстояние между ребром прямоугольного параллелепипеда и параллельной ей плоскостью, проходящей через диагональ основания;

194(а) – задача на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и ребро куба.

5. Объявить оценки за урок.