Презентация "Понятие производной функции" по математике – проект, доклад

Работа Сизовой Натальи Владимировны МОУ «Лицей №3» г. Сарова Персональный идентификатор: 233-169-667

Автор Сизова Н. В., г. Саров

Производная

Историческая справка

Тайны планетных орбит. Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси. А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось. Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному. В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное. Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день. Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений. В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному. Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Повторение

Определение 1

Окрестностью точки называется интервал где δ – радиус окрестности.

Определение 2

Функция называется бесконечно малой при ,если для любого ε > 0 существует проколотая окрестность точки а, на которой выполняется неравенство

Определение 3

Число b называется пределом функции при , если , где - бесконечно малая функция при

Тема урока

Понятие производной функции в точке

Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!

Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1), изображённый в разных масштабах.

Как изменилась конфигурация графика?

Определите радиус окрестности точки х = 1

Существуют ли другие функции, графики которых обладают таким же свойством?

Основные выводы

1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).

2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.

3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.

Такое свойство функций называют «линейность в малом»

Cвойство «линейности в малом».

Выразим это свойство на языке формул.

Как перевести на математический язык слова «увеличить масштаб»?

Радиус окрестности точки x0 уменьшается.

х х0

Изменим x0 на величину ∆x.

∆x - называется приращением аргумента.

x0 + ∆x x0 - ∆x

x – новое значение аргумента

На какую величину изменится значение функции при переходе от точки к точке ?

x y 0 M х0 + ∆х ?

Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:

1. найти значение функции f(x0);

2. найти значение функции f(x0 + Δx)

3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)

Почему график функции y = x2 «выпрямляется», если мы увеличиваем масштаб?

Найдите приращение функции y = x2 в точке x0 = 1

Как изменяется слагаемое (∆х)2 при приближении к точке х = 1?

(∆х)2 стремится к нулю быстрее, чем ∆х .

Следовательно, при малых значениях ∆х величиной (∆х)2 можно пренебречь, следовательно

т.к. С другой стороны Таким образом,

Чем меньше ∆x, тем теснее в точке М(1;1) парабола примыкает к прямой y = 2x – 1.

Или, парабола касается прямой y = 2x – 1 в точке М.

В этом и заключается причина «выпрямления» графика функции y = x2 при увеличении масштаба.

Рассмотрим приращения нескольких функций и выясним, есть ли закономерности в их структуре.

Найдите приращение функции в точке :

Заметим, что приращения рассмотренных нами функций можно представить в виде суммы двух слагаемых.

Определение

Величина α пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, если

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, А – некоторое действительное число.

Что такое коэффициент А?

Значит, где - б. м. ф. при

по определению предела функции в точке.

Выразим из равенства коэффициент А

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Операция отыскания производной функции называется дифференцированием.

Рассмотрим пример из физики, который также приводит к понятию производной.

Пусть тело движется по закону

Надо найти скорость движения на промежутке времени

Если то

Используя определение, найдите производные функций в точке :

Чтобы найти производную функции в точке, надо:

найти приращение функции в точке ; найти отношение приращения функции к приращению аргумента; вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Найдите производные следующих функций в точке :

Что узнали на уроке?

1) Величина называется приращением функции в точке и обозначается

2) Функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х.

3) Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.

4) Чтобы найти производную функции, надо:

найти приращение функции в точке; найти отношение приращения функции к приращению аргумента; вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.