Конспект урока «Применение производной к исследованию свойств функции и к решению прикладных задач» по алгебре для 10 класса

Конспект урока алгебры для учащихся 10 класса

Тема урока: Применение производной к исследованию свойств функции и к решению прикладных задач.

Тип урока: Применение полученных знаний.

Вид урока: урок – телемост.

Цели урока:

• Образовательные: проверить сформированность у учащихся умений: устанавливать характер изменения функции по знаку производной; выявлять точки, подозрительные на экстремум; использовать понятие производной для исследования свойств функции.

• Развивающие: установить, могут ли учащиеся применять метод дифференциального исчисления для решения классов прикладных задач; могут ли учащиеся выделять этапы в решении классов прикладных задач.

• Воспитательные: проверить сформированность качеств знаний: прочность, глубину, оперативность мышления.

Замечание: к уроку – телемосту ученики готовятся дома; класс делится на 3 команды, в каждой выбирается ведущий. Команды заранее готовят приветствие, с которым будут выступать в начале телемоста, учитель раздаёт ведущим команд карточки – задания, которые они выполняют дома.

Вопросы, подлежащие обсуждению на уроке:

1. Производная – фундаментальное понятие математики.

2. Производная – средство для исследования процессов действительности и современного производства.

«Лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы, движения»

Ф. Энгельс.

Ход урока:

I этап: учитель открывает урок.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решён целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки 17 века. С помощью тех же методов математики в 17 и 18 веках изучали различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление». Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным обзор обоснованы. Однако в начале 19 века О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

II эта: на данном этапе выделено 5 уровней.

1 уровень. Ведущие трёх команд предлагают обсудить актуальные проблемы.

Ведущий первой команды:

Нашей творческой группе поручено установить, каким должен быть угол примыкания подъездного пути к магистрали, чтобы суммарный годовой пробег автомобилей из одного пункта в два других был наименьшим?

Ведущий второй команды:

Наша проблема заключается в следующем: строится комната в форме параллелепипеда, одна из стен должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Установить размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей.

Ведущий третьей команды:

Наша творческая группа работает над сооружением оросительного канала, который имеет форму равнобокой трапеции. Установить, при каком угле наклона боковых сторон сечение оросительного канала будет иметь максимальную площадь?

2 уровень. Телеразминка: актуализация опорных знаний по теме «Производная и её применение». Учащимся могут быть предложены вопросы:

1. Что означает возрастание и убывание функции на языке механики?

2. Как связаны между собой монотонность функции и её производная?

3. Что происходит с производной в точке её экстремума?

4. В каких точках непрерывны функции: дробно – рациональная? многочлен ?

5. Укажите промежутки непрерывности функций:

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. .

4. ;

6. Какой угол (острый или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции:

1. в точках 1, 2, -1;

2. в точках 1, -1, 0;

3. в точках 0, 1, -1;

4. в точках 0, 4, -3.

7. Из скольких непрерывных «кусков» состоят графики функций:

1. ; 3. ;

2. ; 4. .

3 уровень. Решение поставленных проблем. Для их решения и последующего обсуждения надо активизировать деятельность школьников. Предлагается каждую команда разбить на 2 команды с целью обмена задачами.

Представим тексты задач и выполним их решение.

Задача 1. Определить, каким должен быть угол примыкания подъездного пути СК и магистрали АВ, чтобы суммарный годовой пробег автомобилей из С в А и В был как можно меньше. Известно, что движение между С и А будет в 2 раза интенсивнее, чем между С и В; АВ = 100 км; АС = 30 км; СD= 30 км (рисунок).

Замечание: в данной и последующих задачах будем выделять только 3 этапа в решении: 1) моделирование; 2) решение внутри математической проблемы; 3) критическое осмысление полученных результатов.

Решение:

1 этап. Моделирование.

1. Пусть m – количество рейсов, которые планируются в среднем в течение года из С в В.

2. Тогда суммарный годовой пробег автотранспорта из А в В можно подсчитать так:

3. Из этой формулы видно, что точку примыкания К нет смысла выбирать правее D, так как в таком случае , , и значит S будет больше, чем при . Значит, .

4. Выразив из прямоугольного треугольника СДК длины сторон СК и DК через СD и x, получим: , . (1)

Математическая задача: исследовать функцию (1) на наименьшее значение на заданном отрезке.

2 этап. Решение внутри математической модели.

1. ; ; ; ; , – единственная критическая точка функции S(x).

2. при .

3. при .

4. При функция S достигает наименьшего значения.

3 этап. Критическое осмысление полученного результата.

Угол примыкания подъездного пути к магистрали должен быть приблизительно равен 70^o.

Задача 2. Оросительный канал имеет форму равнобокой трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию (см. рис.). При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь максимальную площадь?

Решение:

1 этап. Моделирование.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM.

, .

2. .

3. .

4. 

.

5. Мы получили . (2)

Математическая задача: исследовать функцию (2) на наибольшее значение.

2 этап. Решение внутри математической модели.

.

2. ;

; .

3. Так как – острый угол, то ; .

3 этап. Критическое осмысление полученного результата.

Сечение оросительного канала будет иметь максимальную площадь при угле наклона боковых стен 60^о.

Задача 3. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда (см. рис.), одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м². Известно, что 1 м² стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала – 50 рублей. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

Решение:

1 этап. Моделирование.

1. .

2. .

3. Найдём стоимость стены AA₁B₁B:

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. Общая стоимость всех стен:

; . (3)

Математическая задача: исследовать функцию (3) на наименьшее значение на заданном промежутке.

2 этап. Решение внутри математической модели.

1. ; ; .

; .

2. ; ; ; .

3. ; ; ; .

не подходит по условию задачи.

4. S_наим при .

3 этап. Критическое осмысление полученного результата.

Ширина стеклянной стены должна быть равна 8 м, а обычной – 10 м. При таких размерах общая стоимость всех стен окажется наименьшей и равной 8000 рублей.

4 уровень. Учащиеся представляют решения задач, выделяя при этом: 1) математическую модель задачи; 2) ведущую математическую идею процесса решения; 3) блок знаний, необходимых для решения математической задачи.

5 уровень. Учитель осуществляет окончательную корректировку операционной структуры учебно – познавательных действий.

III этап урока. На данном этапе выделяется 2 уровня:

1. Учитель и учащиеся подводят итоги проделанной работы. Вскрывается характер допущенных ошибок.

2. Учитель подводит итог по моделированию современного производства. Прежде, чем какое – нибудь явление природы или процесс экономического, сельскохозяйственного характера подвергнуть математическому изучению, его необходимо упростить. Особенностью рассмотренных выше задач является то, что они имеют одну и ту же математическую модель.

Выводы:

• Учитель может считать, что действие по моделированию процессов действительности полностью сформировано у учащихся, если они могут при полной самостоятельности: а) перевести задачу на язык математики; б) сконструировать математическую задачу; в) выделить ведущую математическую идею; г) критически осмыслить полученный результат.

• Учебное действие оценки можно считать сформированным на данном этапе, если учащиеся: а) моделируют процессы действительности; б) обнаруживают и исправляют ошибки в предложенных решениях.

Домашнее задание:

1. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) ; б) .

2. Найдите область определения функций:

а) ; б) .

3. Найдите промежутки знакопостоянства функции: .

4. Заполните «окошки»:

а) ; в) ;

б) ; г)