Презентация "Понятие предела функции" по математике – проект, доклад

Понятие предела функции

Определение

Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0. Функция f имеет предел в точке x0, если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0, последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется

Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию |х — x0|

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα), показательная функция (ax), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Примеры функций, имеющих предел в точке

у= x2 Предел функции при x → 2 равен 4 (при x → 2 значения функции → 4).

Предел функций при x → 0 равен 0.

Примеры функций, не имеющих предел в точке

Свойства предела функции в точке

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем То если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Вычисление предела функции в точке

Найдем Предел числителя

Предел знаменателя

. Используя теорему о пределе частного, получим

Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3. Тогда

Раскрытие неопределенности

При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на х2

Разделим числитель и знаменатель на х4

подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Вычислить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Очевидно, что можно сократить на (х+1)

:

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Найти предел

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Замечательные пределы

первый замечательный предел второй замечательный предел

Примеры

Односторонние пределы

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1

Предел функции слева

Предел функции справа

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2

Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.