Презентация "Функции и их графики" по математике – проект, доклад

Функции и их графики

Содержание

Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

Понятие функции

Общие свойства функции

Понятие обратной функции

Непрерывность

Элементарные функции

Введение

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

на главную

Пусть D и E – непустые числовые множества, а x и y – соответственно их элементы. Если каждому xÎD (x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение yÎE, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой переменной (или функцией). Символическая запись функции: y = f(x) (xÎD, yÎE). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E.

Четность и нечетность

Периодичность Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Монотонность

Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x). Примеры четных функций: y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ½x½; y = 3. (y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)). Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат:

y x O x0 - x0 назад далее

Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x). Примеры нечетных функций: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

f(-x0) y = f(x)

При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции. Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию. Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Пример: y = x3 + x2 y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0 y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T¹0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T):

1 2 4 3 -1 T

Число T называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x). Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций: y = sin x; y = ctg x; y = sin3x. Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю.

Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.

Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.

Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k≠0 функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой. Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).

-p p p/2 -p/2 y = sin x

Точка x0 называется точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках. для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»).

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0Î [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.

Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0Î [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0). Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать.

Линейная

Обратная пропорциональность

Квадратичная Степенная Показательная Логарифмическая

Тригонометрические

Линейная функция

Определение: Функция вида y = kx + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Если k = 0, тогда y = b. Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b. Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ½b½ единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox.

2. Если b = 0, то y = kx. Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.

y = kx k < 0

3. Если k ¹ 0 и b ¹ 0, то y = kx + b. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0.

Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой.

Определение: Функция вида x = k/x, k ¹ 0, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-¥; 0) È (0; + ¥). Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней. Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k < 0, то функция монотонно возрастает на всей области определения функции.

y = k / x k > 0 y = k / x k < 0

График обратной пропорциональности называется гиперболой. Участки кривой при x > 0 и x < 0 называются ветвями гиперболы.

Квадратичная функция

Определение: Функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b,c – некоторые числа, a ¹ 0, называется квадратичной. 1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (-¥; + ¥), а E = [0; + ¥). При x > 0 она возрастающая, а при x < 0 - убывающая. Ее график называется параболой. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх.

2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; + ¥), а при a < 0 ветви направлены вниз и E = (-¥; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше отходят ветви параболы от оси ординат, тем «шире» она. Чем больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты к оси ординат, тем «уже» она.

3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0 (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; + ¥) или вниз при a < 0 и тогда E = (-¥; y0), где y0 – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b2) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c отрицательный, т. е. B2 – 4ac < 0, то график функции y = ax2 + bx + c не пересекает ось абсцисс.

y = ax2 + bx +c a < 0

Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax2 + bx + c.

Степенная функция

Определение: Функция, заданная формулой y = xn , называется степенной. 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее. 2. Если n – число целое и четное, то функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0. При любом n ¹ 0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1). Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0.

Показательная функция

Определение: Функция, которую можно задать формулой y = ax, a > 0, a ¹ 1, называется показательной. Эта функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ¥). График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

Логарифмическая функция

Определение: Функция вида y = logax, где a > 0, a ¹ 1, называется логарифмической. Эта функция определена на промежутке (0; + ¥), а областью значений является промежуток (-¥; + ¥). Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

y = logax a > 1 y = logax 0 < a < 1

Тригонометрические функции

1.Функция синус. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½sin x½£ 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n Î Z: sin( x + 2pn) = sin x, n Î Z. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой. Функция принимает нулевые значения При х = pn, n Î Z. Функция y = sin x возрастает на промежутках [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], n Î Z и убывает на промежутках [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n Î Z

2.Функция косинус. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½cos x½£ 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n Î Z: cos( x + 2pn) = cos x, n Î Z. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой. Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n Î Z. Функция y = cos x возрастает на промежутках [p + 2pn; 2p + 2pn], n Î Z и убывает на промежутках [2pn; p + 2pn], n Î Z

y = cos x 5p/2 T = 2p 3p/2 2p

3.Функция тангенс. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется тангенсом. Функция определена при x ¹ p/2 + pn, n Î Z. Ее областью значений является интервал (-¥; + ¥). Она периодическая, ее период T = pn, n Î Z: tg( x + pn) = tg x, n Î Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = p/2 + pn, n Î Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = pn, n Î Z. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (-p/2 + pn; p/2 + pn), n Î Z.

4.Функция котангенс. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = ctg x, называется котангенсом. Функция определена при x ¹ pn, n Î Z. Ее областью значений является интервал (-¥; + ¥). Она периодическая, ее период T = pn, n Î Z: ctg( x + pn) = ctg x, n Î Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = pn, n Î Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n Î Z. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2pn; p + pn), n Î Z.

y = сtg x