Презентация "Преобразования Лапласа" – проект, доклад

Преобразования Лапласа

Определение

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Особености даного преобразования

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной f(t) называется функция F(s) комплексной переменной , такая что:

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного F(s) , называется функция f(t) вещественной переменной, такая что: где — некоторое вещественное число.Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции f(x) участвуют значения x<0. Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций. Различают D-преобразование и Z-преобразование.

D-преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени nT где n – целое число, а T - период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

Z - преобразование

Если применить следующую замену переменных: получим Z- преобразование:

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел то он сходится абсолютно и равномерно для F(s) и — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях: 1. преобразование Лапласа существует, если существует интеграл 2. преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для 3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции производная к f(x) для

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

Умножение изображений Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа: В более общем случае (производная n -го порядка): Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

Запаздывание оригиналов и изображений

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Предельные теоремы

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы): , все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.