Презентация "Площади многоугольников" по математике – проект, доклад

Проект

на тему "Площади многоугольников"

Цель:

Развить и закрепить понятие площади многоугольников.

Историческая справка

Возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить). Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Способы вычисления площади дошли до нас в папирусах.Среди них наиболее известные-папирус Ринда(около 1800 г.до н.э.),содержащий 84 задачи с решениями,и так называемый московский папирус(около 1600 г. до н.э.),он содержит 25 задач.

Чтобы найти площадь треугольника,древние египтяне основание треугольника делили пополам и умножали на высоту.А для отределения площади равнобедренного треугольника использовали полупроизведение его боковых сторон.

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами “на экстремум” (от лат. слова extremum – “крайний”) или задачами “на максимум и минимум” (от латинских maximum и minimum –соответственно “наибольшее” и “наименьшее”). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: “Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?”. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге “Начал” Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна , а площадь квадрата и , если . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

ЗАДАЧИ ЦАРИЦЫ ДИДОРЫ

Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что: 1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник; 2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше; 3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг. Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером. Изопериметрические задачи известны также под названием “задачи Дидоны” по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их , сумела ограничить

гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу морю, то на языке математике задачу, стоящую перед Дидоной можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей.

Формулы для нахождения площади многоугольников

a d а b φ

h α

d¹ d² c

Задача

В одном городе стоит телевизионная башня, свет которой можно увидеть с последнего этажа высотного дома, на расстоянии 120 м. Высота башни равна высоте многоэтажного дом и составляет 28 м.Какую фигуру можно получить соединяя точки в вершинах и в началах зданий? Какова площадь полученной фигуры?

1. Чему равна площадь прямоугольника? а) S=ah б)S=ab 2. Сумма углов n-угольника равна: а)180° б)180°(n-2) 3. Сумма всех внутренних и всех внешних углов n-угольника Пропорциональна а) количеству его углов б)количеству его вершин 4. По какой формуле вычисляется площадь трапеции? а) S=mh б) S=½ab 5. По какой формуле вычисляется площадь прямоугольного Треугольника? а) S=mh б) S=½ab 6. По какой формуле вычисляется площадь ромба? а) S=½ab б) S=ah

Тест

7. Площадь трапеции 210 см². Высота 10 см. Найдите среднюю линию а)2,1см б)21см в) 0,12см 8. Площадь параллелограмма 1400см². Одна из его сторон 35см.Найдите высоту прилежащую к этой стороне. а) 42см б)36см в) 40см 9. Дан прямоугольник. Две его стороны равны Соответственно 15 и 34 см. Найдите площадь а) 510см б) 505 см в) 450см 10. Дана трапеция описанная около окружности. Боковые стороны трапеции равны 23 и 15 см. Высота 17см. Найти площадь. а) 323 см б)330см в) 400см 11.По какой формуле вычисляется полупериметр? а) ½(а+б+с) б) а+б+с 12.По какой формуле вычисляется площадь вписанного Квадрата? а)R² б)2R²

РЕШЕНИЕ S=ab S=АВ×СЕ S=120×28=3360 (cm) Ответ: 3360 см

Правильные ответы:

Задача: С Е В А

Б Б Б А Б Б Б В А А А б

ТЕСТ

Вывод:

При подготовке проекта, мы закрепили знания по данной теме и научились применять знания на практике.