Конспект урока «МОДУЛЬ. ПРИМЕНЕНИЕ МОДУЛЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ» по математике

Окружной конкурс творческих работ учащихся

«Интеллект, творчество, фантазия»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

ТЕМА: «МОДУЛЬ. ПРИМЕНЕНИЕ МОДУЛЯ

ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И

ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ»

ВЫПОЛНИЛА: Степанова Алина Валерьевна, учащаяся 8 класса МОУ Малоибряйкинская ООШ Похвистневского района

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: Бурякова Вера Николаевна, учитель математики МОУ Малоибряйкинская ООШ Похвистневского района

г. Похвистнево

2010 г.

Содержание

Введение ……………………………………………………………….………..…3

1. Понятия и определения……………………………………………………..... ..4

2. Решение уравнений, содержащих модуль, используя определение.…… …..6

3. Решение уравнений при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел………………………………………….......10

4. Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений………………………………………………………………..……...…12

5. Решение нестандартных уравнений, содержащих модуль………….……….13

6.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины….15

Заключение ………………………………………………………...……….……..18

Список использованной литературы …………………………………..…….….19

Введение:

Цель:

получить более широкие знания о модуле числа

Задачи:

1. Познакомиться с различными способами решения уравнений, содержащих модуль

2. Познакомиться с графиками функций, содержащих знак абсолютной величины.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.п.. Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

1. Понятия и определения

В младших классах мы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением │а│. Мы знаем, что, например, │5│= 5,

│-3│= 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение: Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: │ a │= a; модулем отрицательного действительного числа a называют противоположное число: │a│= -a.

СВОЙСТВА:

1) Число неотрицательно тогда и только тогда, когда оно равно своему модулю.

2) Число равно нулю тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю. 3) Число неположительно тогда и только тогда, когда его модуль равен противоположному числу. 4) Модуль числа  есть число неотрицательное. 5) Модуль числа не меньше как самого числа, так и ему противоположного. 6) Модули противоположных чисел равны. 7) Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения.

ТЕОРЕМЫ: Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  a равна большему из двух чисел a или -a. Следствие. Для любого действительного числа a справедливы неравенства: a ≤ │a│, a ≥ -│a│, Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из  a² ,т.е. │a│ = √ a² . Приведем доказательство этой теоремы: Мы знаем, что если a≥0, то √a²= а.

Чему же равно выражение √а² при а? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т.е. a². Таким числом будет - a.

a, если a≥0

√a²= -a,если a

Значит, √a² и │a│- одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:

√a²= │a│.

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на √ a² . Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета. Если a ≠0, то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленные от нуля, модули которых равны. Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис. 1)

(Рис. 1)

2. Решение уравнений, содержащих модуль, используя определение.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3. Решение: Аналитическое решение: 1-й способ: Рассуждать будем исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x - 2  ≥ 0, тогда оно "выйдет" из-под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно – (х-2), т.е. x – 2 = -3. Таким образом, получаем либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:  х₁ = 5, х₂ =-1. Ответ:  х₁ = 5, х₂ =-1. Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо - а.

2-й способ: Установим, при каких значениях x, модуль |x - 2| равен нулю: х-2=0, х=2. Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 2):

Рис. 2

Получим две смешанные системы:

х> 2 (1) х 2 (2) х-2=3 -(х-2)=3

Решим каждую систему:

(1)  (удовлетворяет данному промежутку)

(2)  (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ: х₁ = -1, х₂ =5.

Графическое решение. Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае если графики пересекутся, абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Способ разбиения числовой прямой на промежутки. Другой способ решения уравнений, содержащих модуль - это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, чтобы по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутку, и дадут окончательный ответ. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций   у= |x - 2| и у=3. Для построения графика функции у= |x - 2|, построим график функции у=х-2 - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке (0; -2),  а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразим относительно оси OX. Графиком функции у=3 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 3).

Рис. 3

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения. Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y = |x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: x=-1, x=5

Ответ: х₁ = -1, х₂ =5.

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5. Решение: Аналитическое решение: Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0,5 |x| =0,5-1 |x|=-0,5. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен. Ответ: решений нет. Графическое решение Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0,5 |x| =0,5-1 или |x|= -0, 5 Графиком функции у=|x|  являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции у=-0,5  является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку с координатами (-0,5; 0) на оси OY. Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 4).

Ответ: нет решений

Рис.4

3. Решение уравнений при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных выше способов существует определенная равносильность между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел: a=b или a=-b|a|=|b| a=b или a=-b (1)  a²=b². Отсюда в свою очередь получим, что a²=b²|a|=|b| (2)

Пример 3. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами. 1-й способ. Учитывая соотношение (1), получим: x + 1=2x – 5 или x + 1= -2x + 5 x – 2x=-5 – 1 x + 2x=5 – 1 -x=-6|(:1) 3x=4 x=6 x=4/3 Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=4/3. Таким образом, корни исходного уравнения x₁=6, x₂=4/3 2-й способ. В силу соотношения (2), получим (x + 1)²=(2x – 5)², или x² + 2x + 1=4x² – 20x + 25 x² – 4x² +2x+1 + 20x – 25=0 -3x² + 22x – 24=0|: (-1) 3x² – 22x + 24=0 D₁=121 – 72=49 > 0, уравнение имеет 2 различных корня. x₁=(11 – 7 )/3=4/3 x₂=(11 + 7 )/3=6. Значит, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6. Ответ: x₁=6, x₂=4/3

Пример 4. Решим уравнение (2x + 3)²=(x – 1)^2.Решение: Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)): 2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1 2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3 х=-4 х=- 2/3 Таким образом, корнями уравнения являются х₁=-4, и х₂=-2/3. Ответ: х₁=-4, х₂=-2/3

Пример 5. Решим уравнение |x – 6|=|x² – 5x + 9| Решение: Пользуясь соотношением (1), получим: х – 6= х² – 5х + 9 или х – 6 = - (х² – 5х + 9) -х² + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x² + 5x – 9 x² - 6x + 15=0 x² – 4x + 3=0 D=36 – 60= -24 0, D=16 – 12= 4 > 0, корней нет два корня

Проверка: 1) |1 – 6|=|1-5+9 | 2) |3 – 6|=|9 – 15 + 9| 5 = 5(верно) 3 = 3(верно)

Ответ: x₁=1; x₂=3

4. Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин - это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 6. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля. Решение: Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка - нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2]. Ответ: х  [1; 2]

Пример 7. Решим уравнение |x – 1| - |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля. Решение: Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ. Ответ: х.  [2;+ )

5. Решение нестандартных уравнений, содержащих модуль.

Пример 8. Решить уравнение 3| x + 2 | + x² + 6x + 2 = 0. Решение. Рассмотрим два случая.

Ответ: x₁=-4; x₂=-1

Пример 9. Решить уравнение | x² + 3x | = 2(x + 1). Решение. Уравнение равносильно системе

Ответ: х₁=1, х₂= (√17 – 5)/2

Пример 10.Решить уравнение х² - 4х +|x - 3| +3=0

Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно:

__________________________3______________________ х3

1. x3 |x – 3|=x – 3 2) х2 - 4x + x – 3 + 3=0 x² – 4x – x + 3 + 3=0 x² – 3x=0 x² – 5x + 6=0 x(x – 3)= 0 D=25 – 24 > 0, два различных корня x₁=0 или x₂=3 х₁=2, х₂=3 x=0 –посторонний корень, так как не удовлетворяет промежутку. Значит, исходное уравнение имеет два решения х₁=2, х₂=3 Ответ: х₁=2, х₂=3

6. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины

1) Построение графика функции y=│x│

Для любого действительного числа x можно вычислить │x│, т.е. можно говорить о функции y=│x│. Воспользовавшись соотношениями, вместо y=│x│, получим:

x, x≥0

y=

-x, x

Построение графика, как обычно в таких случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим прямую y=x и выделим ее часть на луче [0, +∞). Затем построим прямую y= - x и выделим ее часть на открытом луче (- ∞, 0). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат; получим график функции y=│x│.

2) Построение графика функции y=│ƒ(x)│.

Прежде вспомним определение модуля:

ƒ(x) для тех x, где ƒ(x) ≥0

│ƒ(x)│=

- ƒ(x) для тех x, где ƒ(x)

Чтобы построить график функции y= │ƒ(x)│, надо сначала построить график функции y= ƒ(x) , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

3) Построение графика функции y= ƒ(│x│).

Заметим, что так как ƒ(│-x│)=ƒ(│x│), то функция y=ƒ(│x│) - четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции ƒ(x), находящиеся слева от оси Oy, а все точки, лежащие на оси Oy справа от нее, отобразить симметрично относительно оси Oy.

4) Построение графика функции y= │ƒ(│x│)│.

Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:

1.Построим график функции y= ƒ(x) для x≥0.

2. Отобразить построенную часть графика симметрично оси ординат;

3. Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

5) Построение графиков «функций» │y│=│ƒ(x)│.

Очевидно, что y=±│ƒ(x)│ т.е. ее график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося: 1. Построить график функции y=│ƒ(x)│; 2. Осуществить его зеркальное отражение относительно оси Ox.

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней. Например: 1) f(x) = |x - 1|. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков (рис.5)

Рис.5

2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0, 3 и 4 получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.(рис.6)

Рис.6

3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3|. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.7)

Рис.7

4) f(x)=|x - 1| - |x – 2|. График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3. (рис.8)

Рис 8.

Заключение.

И в заключении я хотела бы сказать, что для досконального изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интересной для меня темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 8-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня. При выполнении исследовательской работы наибольший интерес вызвала тема: «Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля». Изучая дополнительную литературу, меня заинтересовали графики, которые получаются в результате преобразований графика квадратичной функции y= ax²+ bx+ c, содержащих переменную под знаком абсолютной величины. На следующий год я предполагаю продолжить работать по этой теме.

Список использованной литературы

1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков – М., Просвещение, 1971

2. Мордкович А. Г. Алгебра. Часть 1. Учебник. 8 класс. М., 2003.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. М., Просвещение, 2003

4. Сикорский К.П. Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий. М., Просвещение, 1969

5. Черкасов О.Ю. Проверь свои знания по математике. – М.,Издат.отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

6. Якушев А. Г. 1800 экзаменационных задач по математике. Минск. ООО «Юнипресс», 2002

7. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайтов: http://referatoff.ru/

http://articles.excelion.ru/ http://schools.

.