Конспект урока «Решение комбинаторных задач» по математике для 7 класса

Этапы урока и содержание

Время, мин.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

Организационный этап

Психологическая минута

Учитель по «Шкале настроения» желает учащимся, чтобы их настроение на уроке соответствовало «5» баллам

Постановка целей и задач урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. К уроку я подготовила Вам различные задачи по комбинаторике, которые предлагаю решить разными способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Хотя в «споре рождается истина», но я Вас попрошу, быть очень внимательными друг к другу, чтобы каждый из Вас смог показать свои знания по данной теме. Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».

Проверка домашнего задания

На дом были предложены задачи: №613 из учебника, которую учащимся предложено решить разными способами, включая «Дерево возможных вариантов», а также дополнительная задача для «любознательных», взятая из книги Я.Перельмана «Живая математика».

Задача «Бесплатный обед»

Десять выпускников пришли отпраздновать в кафе-мороженое окончание школы, и никак не решат: в каком порядке им сесть. На выручку им пришёл официант, который предложил сегодня сесть, как придётся, а на другой день придти и сесть по-другому и так каждый день, пока не наступит такой день, когда они опять сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал угостить всех бесплатным обедом. Как Вы думаете, долго ли друзьям придётся ждать бесплатного обеда? (решение ДЗ приложение №1)

Закрепление материала

1 этап.

Классу предлагается ответить на теоретические вопросы:

1. Какой раздел математики называют комбинаторикой?

2. Какой отличительной чертой отмечены все задачи по комбинаторике?

3. В чём состоит комбинаторное правило суммы?

4. В чём состоит комбинаторное правило произведения?

5. Что понимаем под понятием «перестановки»?

6. Как найти «перестановку» из n элементов?

7. Что понимаем под понятием «сочетание»?

8. Что понимаем под понятием «размещение»?

9. Как отличить, какая задача на «перестановки», «сочетания», «размещения»?

2 этап.

Классу предлагается выполнить задание «Представим наш класс» (у каждого на столе на листочках)

Задача 1.

Сколько рукопожатий делают наши юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек?

Задача 2.

Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из 5 девочек?

Задача 3.

Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать фотографий, учитывая, что их 5 человек?

Задача 4.

Составляя расписание на понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания?

Решение задач на приложение №3.

3 этап.

Выполнение заданий по учебнику №639

Команда из 6 человек готовится к выполнению на брусьях. Сколькими способами можно установить их очерёдность, если

А) Ира должна выступить первой.

Б) Ира должна выступить первой, а Зоя последней.

В) Ира и Зоя должны выступать одна за другой.

Г) Ира должна выступить первой или второй.

Решение

А) Ира выступает первой, «фиксируем» первое место, то имеем дело с перестановкой из 5 элементов Р ₅ =5 !

Б) Фиксируем первое место и последнее, то имеем дело с перестановкой из 4 элементов Р₄=4!.

В) «Склеиваем» 2 элемента, 1 место –Ира, 2 место –Зоя, то имеем дело с перестановкой из 5 элементов Р₅=5!, ! место –Зоя, 2 место -Ира, Р₅=5!. По правилу суммы имеем 5! + 5! = 120+ 120 =240.

Г) Ира первой 5!, Ира второй 5!.ПО правилу суммы имеем 120+ 120= 240.

Ответ: 120, 24, 240, 240.

4 этап.

Учащимся предлагается задача для обсуждения и решения.

Задача 5.

Вороне как-то Бог послал кусочек сыра, брынзы, колбасы, сухарика, шоколада. «На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась»:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать;

б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

в) если первым везде оставить любимый сыр в «бутерброде», а вторым остальные, то сколько будет вариантов бутербродов;

г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё-таки бросить лисе, а потом ответить на вопрос пункта а) Рассмотреть все возможные случаи.

Решение.

Вороне Бог послал кусочки 5 разных видов.

а) Есть все кусочки по очереди - это, значит выбирать только порядок их расположения, т. е. образовывать разные перестановки из 5 элементов. Количество вариантов:

Р₅ = 5! = 120.

б) Делать бутерброды из двух кусочков - это значит выбирать
разные пары из 5 данных кусочков; при этом порядок выбора не
важен; количество вариантов:

в) Если первым сыр, то вторым - любой из 4- х кусочков.

Значит, по правилу произведения, имеем

г) Если бросить Лисе кусочек, то останутся 4 кусочка, которые
можно съесть одним из Р₄ = 4! = 24 способов (меняется только по­
рядок поедания). Но Лисе можно бросить любой из 5 имеющихся
кусочков, при этом в каждом случае будут оставаться 4 разных набора кусочков, каждый из которых можно съесть 24 способами.
По­ этому общее число вариантов по правилу умножения
будет равно:

5 ·Р₄ = 5 ·24= 120.

Ответ: а) 120; б) 10; в) 4; г)120.

Домашнее задание. ( заранее написано на обратной стороне доски) п.6.3., п.6.4 №634, 637.

Дополнительное задание для «любознательных»: прочитать п.6.5. «Круговые перестановки» №623.

Подведение итогов урока.

Приложение №1. Домашние задачи.

«Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3-х горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько вариантов можно получить, если у каждой страны свой флаг?»

Решение.

*

I полоса С Б К

II полоса Б К С К С Б

III полоса К Б К С Б С

Итог: БКС, БСК, КБС, КСБ, СКБ, СБК.

Ответ: 6 вариантов.

Дополнительный вопрос.

Какой вариант флага нашей страны? ( БСК)

Задание 1. « Узнать, какие страны имеют полученные флаги».

Задание 2. (Я.Перельман. «Живая математика», «Бесплатный обед»).

« 10 выпускников пришли в кафе отпраздновать окончание школы, но не могли решить, ., №618в, как сесть, т.е. в каком порядке. На выручку пришёл официант, который предложил сесть сегодня , как придётся, а на другой день сесть по - другому и так до тех пор, пока не наступит такой день, когда они сядут как в первый раз. Тогда их официант обещал угостить бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям ждать бесплатного обеда?»

Решение.

10! = 3 628 880(п)

Учитывая, что в году 365 дней, то это почти 10 тысяч лет.

Ответ: через 10 000 лет.

Приложение №2.(задания, которые класс решает устно)

Вычислите:

2! (2) 5!/4!

4! (24) 5!/3!

5! (120)

2). Верно ли что?

8! = 4! · 2!

8! = 8 · 7!

3). Важен ли порядок в следующих выборках:

а) капитан волейбольной команды и его заместитель; (да)

б) 6 человек останутся убирать класс; ( нет)

в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма; (да)

г). Придумайте сами ситуации, где

I в – порядок выбора важен;

II в – порядок выбора не важен.

1

1

2

6

7

12

7

5

2

2

Организационная

Работает со «Шкалой настроения»

Сообщает тему урока, цель урока.

Учитель приглашает к доске желающих, показать выполнение ДЗ. Проводит устный счёт (задания на магнитной доске, выслушивает и корректирует ответы учащихся). Устные задания на приложение №2. После готовности учащихся, работающих у доски, выслушивает их ответ.

Учитель задаёт вопросы, слушает и корректирует ответы учащихся. После обсуждения теоретических вопросов вывешивается таблица «Типы комбинаторных задач», где сосредоточен весь нужный материал. Показ на компьютере различия в задачах данных типов.

Учитель предлагает решить задачи, выслушивает ответы, корректирует обсуждения. После выполнения заданий учитель предлагает сделать вывод о способе решения данных задач. Показ на компьютере решения задачи №2, 3 с помощью полных графов.

Дополнительный вопрос: сколько будет вариантов, если третий урок алгебра?

При решении комбинаторных задач используют следующие приёмы: «склеивание» элементов, «фиксирование» элементов.

Учитель предлагает учащимся прочитать задачу и предложить способы её решения.

Поясняет домашнее задание, обращает внимание на то, что аналогичное задание было разобрано на уроке. Дополнительный пункт 6.5. «Круговые перестановки» продолжает знакомить учащихся с новыми видами перестановок.

Учитель подводит итоги урока, предлагает учащимся продолжить предложение:

- Я сегодня научился …

- Я сегодня узнала …

- Мне очень понравилась задача …

Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о дальнейшем её изучении: знакомство с треугольником Паскаля, в старших классах знакомство с задачами «перестановки с повторениями», «сочетания с повторениями», «размещения с повторениями» Также комментирует оценки учащихся.

Демонстрация флага России, а также других флагов, полученных в задаче.

Сообщают об отсутствующих, готовят рабочее место

Слушают учителя

Записывают в тетрадь тему урока.

Два человека работают у доски, а остальные принимают активное участие в устном счёте.

Учащиеся участвуют в устном опросе.

Выполняют обсуждение предложенных задач, работают у доски и записывают решения в тетради.

Задание №639 ученики выполняет у доски с «комментарием», задание №1(карточка №1) один ученик – самостоятельно у доски, другой – в тетради. «Слабые» учащиеся получают индивидуальные карточки (№2,№3). Класс работает с первым учеником. Учащиеся участвуют в обсуждении решения задач.

Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.

Внимательно слушают пояснения учителя и записывают в дневник домашнее задание.

Учащиеся продолжают предложение учителя:

- Я сегодня научился …

- Я сегодня узнала …

- Мне очень понравилась задача …