Конспект урока «Решение задач с использованием принципа Дирихле» по математике для 6 класса

Обобщающий урок по теме:

Цель урока:

1. Повторить принцип и обобщение принципа Дирихле для использования их при решении задач по разделам:

а) «Ящики и шарики»; б) «Поиски в темноте; в) Перевозки.

2. Развитие логического мышления через решение нестандартных задач.

3. Развитие интереса к предмету и расширение кругозора.

Тип урока: Повторительно-обобщающий.

Оборудование:

1. карточки с заданиями;

2. карточки для самостоятельной работы;

3. плакаты и объявления.

Оформление класса:

,

Число, тема, плакаты, эпиграф.

«Глядя на мир нельзя не удивляться»

Кузьма Прутков

Ход урока:

Сообщение темы, плана урока.

1. Опрос (подготовка к решению задач)

2. Задачи:

а) по типу размещения «шариков» по «ящикам»;

б) «поиски в темноте» - игра. 2 команды;

в) «перевозки».

3) Домашнее задание и подведение итогов.
Конкурс лучших задач. \

Принцип Дирихле.

Если d и п натуральные числа, причём d больше п, то при раскладе d предметов в п ящиков, хотя бы в одном из ящиков окажется не менее двух предметов.

Обобщение принципа Дирихле. Даны n ящиков, в которых размещены n*к+£шариков, тогда найдётся ящик, где лежит не менее к+1 шариков.

Биографическая справка. Портрет математика.

ДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен (Dirichlet)

(13.02.1805 – 05.05.1859) Дирихле Петер Густав Лежен немецкий математик. Родился в Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855гг.-профессор Берлинского университета, после смерти К. Гаусса (1855г.)-Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел; установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл (ввел интеграл с ядром Дирихле), принцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени, в том числе на Г. Римана, Ф. Эйзенштейна, Л Кронекера, Ю. Дедекинда.

Принцип ДИРИХЛЕ

Задача 1. В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Решение. Предположим противное, то есть, предположим, что в
этом лесу не существуют две ели с одинаковым числом иголок.
Тогда существует не более одной ели (одна ель или ни одной),
имеющей одну иголку. Аналогичным образом, существует не более
одной ели с двумя иголками и т.д., не более одной ели с 499999
иголками, не более одной ели с 500000 иголками. Таким образом,
не более 500000 елей обладают числом иголок от 1 до 500000.
Поскольку всего растут 800000 елей, и каждая ель имеет не долее
500000 иголок, следует, что найдутся хотя бы две ели с одинаковым
числом иголок.

Пусть в п коробок помещены к предметов. Если количество предметов больше количества коробок (к > п), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета.

Примечание. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значение, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами (два или более). В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов".

Задача 2. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.

Решение. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" -ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Так как число месяцев, то есть, коробок, равно 12, а число учеников, то есть, предметов 40 = 12-3+4, согласно принципу Дирихле существует коробка (месяц) с по крайней мере 3+1=4 предметами (учениками).

ЗадачаЗ. В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают п

карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было:

1. не менее 4 карандашей одного цвета;

2. по одному карандашу каждого цвета;

3. хотя бы 6 карандашей синего цвета.

Решение, а) Пусть вынули 13 карандашей. Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"), по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

Докажем, что п = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

Случаи Ь) и с) решаются аналогично.

«Ящики и шарики» («3айцы и клетки»)

В эту группу включены простые задачи, для решения которых достаточно выбрать «ящики» и «шарики», а так же способ размещения «шариков» по «ящикам», и применить принцип Дирихле или его обобщение.

№1

Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами: в зале большого театра 2000 мест.

№2

В одном из классов школы 26 учеников. Можно ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы? А если в классе 40 учеников?

№3

В классе учатся 29 учеников. Саша Иванов допустил в диктанте 13 ошибок, и никто другой не сделал большего числа ошибок. Доказать, что, по крайней мере трое учащихся, имели одинаковое количество ошибок.

№4

1800 учеников района выполнили тест из 100 заданий. У Сидорова 31 неправильный ответ. У остальных - меньше. Найдется ли 59 школьников с одинаковыми результатами тестирования?

№5

В параллели 6х классов 160 учащихся. Доказать, что найдутся четыре человека, у которых день рождения приходятся на одну и туже неделю.

№6

В 300 ящиках упакованы апельсины. Известно, что один ящик может вместить не более 120 апельсинов. Докажите, что имеются, по крайней мере, 3 ящика с одинаковым количеством апельсинов.

№7

По законам племени МУМБА - ЮМБА, каждый человек имеет не более 5 волос на голове. Одна из семей состоит из 7 человек. Найдутся ли в этой семье хотя бы двое с одинаковым числом волос на голове.

Задачи на принцип Дирихле.

№1

Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами: в зале большого театра 2000 мест.

Решение: 2000:366=5 (ост. 170); 366*5+170. хотя быб человек не менее 6, но не более 2000 человек) родились в один и тот же день, одного и того же месяца.

№2

В детской библиотеке имени Пушкина 341 читатель. Когда пересчитывали количество книг прочитанных каждым, то оказалось, что Петров прочитал 113 книг, а остальные меньше. Найдутся ли хотя бы 4 читателя, которые прочитали бы одинаковое количество книг.

Решение: число прочитанных книг Петровым нам известно -113 книг. Значит, 340 читателей прочитали не более 112 книг. Примем за «ящики» все возможные варианты прочитанных книг (0,1,2,3, ....112). Их 113. Ящиков 113. За «шарики» принимаем читателей, их 340. Будем раскладывать шарики по «ящикам» согласно количеству прочитанных книг. Итак,113*3 +1. В соответствие с обобщением принципа Дирихле найдётся ящик, в котором, не менее 3+1=4 «шариков». Таким образом, хотя бы 4 читателя прочитавшие одинаковое количество книг, найдутся.

№3

В классе 25 учеников. Козлов Вася допустил в диктанте 7 ошибок, никто другой не сделал большего числа ошибок. Доказать, что, по крайней мере, 4 ученика имели одинаковое количество ошибок. Решение: Примем за «ящики» количество всевозможных ошибок. Их 8, т.е. (0,1,2,3,...7- варианты всевозможных ошибок). За «шарики» примем количество учеников, их 25. Будем раскладывать шарики по ящикам, в соответствие сделанных ошибок. 8*3+1. Согласно обобщению принципа Дирихле, найдётся «ящик», где находится не менее 3+1, т.е. 4 шарика. Значит, по крайней мере, 4 учащихся сделают одинаковое количество ошибок.

№4

В многоквартирном доме живут 584 человека. Доказать, что найдутся хотя бы 12 человек, у которых день рождение приходиться на одну и ту же неделю.

Решение: примем за «ящики» - 53 недели. За «шарики» - 584 жителя. Будем раскладывать «шарики по ящикам», согласно их дням рождениям. Получим 53*11+1. Согласно обобщению принципа Дирихле, найдётся «ящик», где лежит не менее 11+1 «шариков», т.е. 12. Значит, найдутся, по крайней мере, 12 человек, родившиеся в одну и ту же наделю.

№5

90 учеников выполняли тест из 30 заданий. Иванов Вася дал 22 неверных ответа, остальные меньше. Найдутся ли 5 учеников с одинаковыми результатами тестирования.

Решение: т. к. число ошибок Иванова известно, то остальные 89 учеников сделали не более 21 не правильного ответа. Всего всевозможных вариантов ответов может быть от 0 и до 21 т.е. 22 варианта. За «ящики» примем - 22 ошибки. За «шарики» 89 учеников. Будем шарики раскладывать по ящикам согласно „ числу неверных ответов. 22*4+1. В соответствие с обобщением принципа Дирихле найдётся ящик, в котором не менее 4+1, т.е. 5 шариков. Значит, найдутся, по крайней мере, 5 учеников с одинаковыми результатами тестирования.

№6

Могут ли 3 пчелы унести 13 цветочных капелек нектара, весом: 0,1; 0,2; 0,3; ... 1,3млг, если 1 пчела может поднять 1 млг.

Решение: 1) 3*4+1= > Согласно обобщению принципа Дирихле хотя бы на одну пчёлку следует погрузить не менее5, (но не более13) капелек. 2)5 самых маленьких капелек весят: 0,(1+0,12+0,(3+0,(4+0,» 5= 0, 6*2+0,«3=4 1,2+0, 3= Щмлг) Таким образом унести все капельки не удастся.

№7

Каждый вечер 15 шахтёров, работающих на маленькой шахте, поднимаются на лифте, и вместе с ними поднимаются на лифте дежурный. Вес дежурного - 55 кг; вес шахтёров- 60, 62, 64,... 90кг. Смогут ли все шахтёры подняться вверх за 3 раза, если грузоподъёмность лифта 350 кг?

Решение: 1) Всего 16 человек. 3*5+1= > согласно обобщению принципа Дирихле хотя бы за один подъём необходимо взять 6 человек. 2) вес 6 самых лёгких равен:

55+60+62+64+66+68=115+130*2=115+260=375кг. Значит, поднять всех шахтёров и дежурного за 3 раза, нельзя.

№8

В подсобном помещении, в коробке, находятся чулки одного размера, но разного цвета. В коробке 7 пар зелёных, 12 пар красных и 15 пар чёрных чулок. Сколько чулок необходимо взять в темноте из коробки для того, что бы на свету из них заведомо можно было взять:

A) 1 пару чулок?-4 чулка

Б) 1 пару зелёных чулок?-56 чулок

B) 1 пару чёрных чулок?-40 чулок
Г)2 пары чулок?-6 чулок

Д)2 пары чулок разного цвета?-33 чулка

Е)2 пары одного цвета?-10 чулок

Ж)1 пару красных и 1 пару чёрных чулок?-46 чулок

3)2 пары зелёных и 1 пару красных чулок?-58 чулок

№9

В одной коробке хранятся перчатки. 15 пар белых и 12 пар чёрных. Сколько перчаток необходимо взять из этой коробки дл того, что бы на свету из них можно было выбрать:

A) 1 пару перчаток?-28 перчаток

Б) 1 пару белых перчаток?-40 перчаток

B) 2 пары перчаток?29 перчаток

Г)2 пары белых перчаток?-41 перчатка

Д)2 пары перчаток одного цвета?-32 перчатки

Е)2 пары перчаток разного цвета?-43 перчатки

Ж)1 пару белых и 1 пару чёрных перчаток?- 44 перчатки

3)2 пары белых и 3 пары чёрных перчаток? - 45 перчаток

^{Предыстория.}

Приглашаем вас, посетить галантерейный магазин «1000 мелочей», специализирующийся главным образом на продаже уценённых товаров. В подсобном помещении хранятся в больших коробках однотипные изделия. Чулки, взятые из одной коробки, отличаются самое большее по цвету, а перчатки, кроме того, на правую и левую руку. Обслуживание покупателей - дело хлопотное, тем более, что я не разрешая приносить чулки и перчатки из подсобного помещения в торговый зал целыми коробками, так как падает рейтинг магазина. А тут ещё и свет погас в подсобке. Это не приятное обстоятельство поставило передо мной массу проблем и вопросов, для решения этих проблем и вопросов мы приглашаем на работу помощником продавца всех желающих.

^{всех желающих,}

прошедших собеседование

«Поиски в темноте»

При решении задач этой группы не обязательно использовать принцип Дирихле или его обобщение в чистом виде. Важно подходить к решению задачи с позиции, что происходит самое худшее из всего того, что вообще может произойти.

№1

В подсобном помещении в коробке находятся чулки одного размера, но разных цветов. В коробке находятся 5 пар зелёных, 10 пар чёрных и 15 пар коричневых чулок. Сколько чулок необходимо взять в темноте из коробки для того, чтобы на свету из них заведомо можно было выбрать:

1. 1 пару чулок?

2. 1 пару зелёных чулок?

3. 1 пару чёрных чулок?

4. 1 пару коричневых чулок?

5. 2 пары чулок?

6. 5 пар чулок?

7. 2 пары чулок различного цвета?

8. 2 пары чулок одного цвета?

9. 4 пары чулок одного цвета?

10. 1 пару зелёных и 1 пару чёрных чулок?

11. 3 пары зелёных чулок?

12. 2 пары зелёных и 1 пару коричневых чулок?

13. 2 пары зелёных, 3 пары чёрных и 5 пар коричневых чулок?

№2

В одной коробке хранятся перчатки. 20 пар белых и 20 пар чёрных перчаток. Сколько перчаток необходимо взять из этой коробки для того, чтобы на свету из них можно было выбрать:

1) 1 пару перчаток?

2) 1 пару белых перчаток?

3) 2 пары перчаток?

4) 2 пары белых перчаток?

5) 2 пары перчаток одного цвета?

6) 2 пары перчаток разного цвета?

7) 4 пары белых и 6 пар чёрных перчаток?

^{Перевозки}

Как правило, в подобных задачах требуется определить, возможно ли перевезти некоторое число предметов известной массы на машине,

грузоподъёмность которой дана за указанное число раз. Для ответа на этот вопрос следует с помощью принципа Дирихле определить наибольшее число предметов, которое придётся везти за один раз. Найти массу полученного числа самых лёгких предметов и сравнить с грузоподъёмностью машины.

№1

Можно ли перевезти 50 камней весом 379, 372,374...468 кг. На 7 трёхтонках?

№2

Каждое уро в подъезде №1, на лифте спускаются 21 человек весом 53,56,59... 113 кг., а так же маленькая Люсенька весом 10 кг. и её мама весом 50 кг. Смогут ли все эти люди спуститься вниз за 3 раза, если грузоподъёмность лифта 450 кг, а маленькая Люсенька не может ехать в лифте без мамы.

Задачи на принцип Дирихле из группы «перевозки»

Африканский слон, может поднять не более 1000 кг. (1 тонны) веса. Смогут ли 3 таких слона перетащить 19 брёвен весом:

145, 148, 151, 154... 199 кг?

Решение: Сначала нам нужно определить количество брёвен, которое должен перевезти каждый слон. Для этого мы должны правильно выбрать, что берём за «ящики», я что за «шарики». За «ящики» мы примем 3-х слонов, так как их меньше по количеству, чем брёвен, значит за «шарики» принимаем 19 брёвен. Разложим «шарики по ящикам», т.е. брёвна погружаем на слонов. Согласно принципу Дирихле 3*6+1, хотя бы в одном ящике будут находиться 6+1 шариков (хотя бы один слон должен будет перенести 6+1, т.е. не менее 7 брёвен). Для решения этой задачи нам необходимо узнать вес наименьших 7 брёвен, которые должен будет перевезти один из 3-х слонов. 145+148+151+154+157+160+163=1078кг.

Ответ: 3 африканских слона грузоподъёмностью 1 тонна не смогут перевезти 19 брёвен весом: 145,148,151 ...199 кг, так как один из слонов должен перевезти не менее 7 наилегчайших брёвен, а их вес превышает 1000 кг.

Смогут ли 2 верблюда, грузоподъёмность, которых 450кг донести груз из 9 предметов, весом 70, 90,110, ... 230кг, за 1 раз.

Решение: 9 предметов, нужно погрузить на 2 верблюда. 2*4+1. Согласно обобщению принципа Дирихле, на одного из 2-х верблюдов придётся погрузить 5 предметов. Узнаем вес 5 наилегчайших предметов. 70+90+110+130+150=550кг, значит, эти два верблюда не смогут перевезти груз из 9 предметов, так как 5 наименьших весят больше грузоподъемности самого верблюда.

Задачи на принцип Дирихле из группы «перевозки» Африканский слон, может поднять не более 1000 кг. (1 тонны) веса. Смогут ли 3 таких слона перетащить 19 брёвен весом: 145, 148, 151,154...199 кг?

Задачи на перевозу.

Могут ли донести Мученицы 6 класса портфели, если вес 11 книг и школьных принадлежностей составляет: 500,600,700...1600 гр.

Притом, что ученики 6 класса могут носить портфель весом не более 4 килограммов.

Крот готовился к зимней спячке.

Ему требуется перенести корешки весом

62, 64, 66... 116г-28 корешков.

Сможет ли крот перенести все эти корешки к себе в норку за 3 раза, если его грузоподъемность 204 грамма?

Решение:

1. 3*9+1 - согласно обобщению принципа Дирихле следует,

что за 1 раз крот должен перенести 9+1=10 корешков

2. 62+64+66+68+70+ 72+74+76+78+80= 710(грамм)

Крот не сможет перенести все эти корешки за 3 раза

Задача на принцип Дирихле.

Летом через Волгу из посёлка Затона на зелёный остров переправляется 20 человек весом: 55, 57, 59, 61, 63, ... , 93кг. А также ещё один человек с весом 50кг и с 20 килограммовым ребёнком. Смогут ли все эти люди переправиться через реку за 5 раз, если дедвейт лодки 300кг?

Решение:

Так как один человек с ребёнком, то можно

принять его за одного - 70кг.

1) 5 4+1-следовательно, за один рейс

придётся отправить 5 человек.

2) 55+57+59+61+63=118 2+59=295кг.

3) 295 меныпе 300.
Ответ: да, смогут.