Конспект урока «Задачи на смеси и сплавы» по математике для 9 класса

Разработка урока учителя математики МОУ «Лицей»

И.М. Лещенко по теме: «Задачи на смеси и сплавы».

Пояснительная записка.

Данный вид текстовых задач отсутствует в школьном курсе математики, но очень часто их используют на вступительных экзаменах в вузы и на единых государственных экзаменах, поэтому я решила расширить их тематику и познакомить учащихся с методикой их решения на примерах реальных экзаменационных задач в рамках часов, выделенных учащимся 9 класса для подготовки к итоговой аттестации. К этому моменту ребята уже умеют решать задачи на дроби и проценты, владеют навыками составления различных уравнений и их систем.

Цели и задачи урока:

- формирование умения решать задачи на смеси и сплавы

• развитие логического мышления, умения сравнивать, анализировать, выбирать наиболее рациональное решение

• развитие познавательного интереса к предмету

• воспитание уверенности в своих силах, работоспособности

Тип урока: изучение нового материала

Ход урока

I.Организационный момент: сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы

II Актуализация опорных знаний и умений учащихся:

1. Что такое процент?

Процентом числа называется сотая часть этого числа

2. Как найти число b, составляющее p% от числа a

3. Как найти число a, если его p% равны числу b?

4. Сколько % число b составляет от числа a?

5. Как записать в виде десятичной дроби 40%; 100%; 185%; 7%; p% ?

Соответственно 0,4;1;1,85;0,07;0,01p

6.Что называют отношением двух чисел?

Их частное

7. Что оно показывает?

Во сколько раз первое число больше второго или какую часть I число составляет от второго.

Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением масс, отношением объемов и т. д.)

III.Формирование новых знаний учащихся:

При решении текстовых задач на смеси, и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями:

-абсолютное содержание вещества

-относительное содержание вещества

Абсолютное содержание вещества – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (грамм; килограмм; литр и т. д.)

Относительное содержание вещества – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объёму).

Относительное содержание очень часто называют концентрацией или процентным содержанием

При этом используют различные формы записи процентного содержания вещества в долях и в процентах

Проиллюстрируем данные понятия на примере: в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Найти абсолютное содержание соли и воды в растворе:

абсолютное содержание соли – 50 г

абсолютное содержание воды – 450 г

Каково процентное содержание соли и воды в растворе?

Процентное содержание соли 0,1 = 10%

Процентное содержание воды 0,9 = 90%

IV.Формирование умений учащихся:

Учащиеся получают на листках заранее напечатанные тексты задач, которые будут рассмотрены в ходе урока:

Задача №1: смешали 500 г 10% раствора соли и 400 г 55% раствора соли. Определить концентрацию соли в смеси.

По ходу решения задачи в форме диалога поэтапно будем находить недостающие элементы:

1) найдем абсолютное содержание соли в I растворе

500·0,1=50г

2) Найдем абсолютное содержание соли во II растворе.

400·0,55=220 г

3) Найдем массу получившейся смеси

500+400 = 900 г

4) Найдем абсолютное содержание соли в смеси

50+220=270 г

5)найдем концентрацию соли в смеси

270г (абсолютное содержание соли)

900 г (общая масса) = 0,3 = 30 %

Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов равна 30%

Задача №2: кусок сплава меди и олова массой 36 кг содержит 45%.

Сколько меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди?

1) Найдем абсолютное содержание меди в сплаве

36·0,45=16,2 кг

2) что нужно знать, чтобы концентрация меди в новом куске была 60%?

абсолютное содержание меди в новом куске после добавки и получившуюся общую массу куска.

Тогда обозначим за x – массу добавленной меди

3) найдем абсолютное содержание меди в новом куске: 16,2+x

4) найдем массу получившегося куска: 36+x

5) зная процентное содержание меди в новом куске, составим уравнение

0,6;

Решая уравнение 5(16,2+x)=3(36+x)

получим x=13,5 кг меди нужно добавить к куску, чтобы получить 60% концентрацию.

Задача №3 смешали 20% и 40% растворов соляной кислоты и получили 25% раствор. Найти отношение масс исходных растворов.

Обозначим за x₁ – абсолютное содержание кислоты в I растворе

x₂ – абсолютное содержание кислоты во II растворе

за m₁ – общую массу I раствора

за m₂ – общую массу II раствора

Тогда концентрация I раствора: 0,2 (1)

концентрация II раствора: 0,4 (2)

При смешивании двух растворов общая масса смеси будет равна m₁+m₂, а абсолютное содержание чистой кислоты в смеси – x₁+x₂

Тогда процентное содержание кислоты в смеси равно 0,25 (3)

выразим x₁ и x₂ из (1) и (2) равенства, и получим и подставим в (3)

Получим 0,25

0,2m₁=0,6m₂

Таким образом, отношение масс исходных растворов равно 3:1.

В чём необычность данной задачи?

В том, что получили при решении задачи одно уравнение, а неизвестных – два!

Задача №4: имеются два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г I раствора и 200 г второго, то получится 50% раствор. Если же слить 300 г I раствора и 200 г второго, то получится 42% раствор. Определить концентрацию данных растворов.

1) Найдем абсолютное содержание соли после того, как слили 100 г I раствора и 200 г второго.

(100+200) ·0,5=150 г

2) Найдем абсолютное содержание соли после того, как слили 300 г I раствора и 200 г. второго

(300+200) ·0,42=210г

3) обозначим за x – концентрацию соли в I растворе

за y- концентрацию соли во II растворе

тогда абсолютное содержание соли после I смешивания:

100x+200y=150

после II смешивания:

300x+200y=210

Получим систему уравнений с двумя неизвестными

Решая её, получим x=0,3=30% - концентрация соли в I растворе

y=0,6=60% - концентрация соли во II растворе

Задача №5: имеются два слитка, содержащие серебро. Процентное содержание серебра в I слитке на 40% меньше, чем во II слитке. После того, как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% серебра. Найти массу I и II слитков, если в I слитке было 6 кг серебра, а во II – 12 кг.

Пусть масса I слитка – x кг, а II – у кг, тогда 6/x - процентное содержание серебра в I слитке, а 12/y- процентное содержание серебра во II слитке. Так как 12/y больше чем 6/x на 40%, можно составить уравнение 12/y - 6/x =0,4 .

После того, как куски сплавили, процентное содержание серебра в новом куске стало 36%, т.е. (12 + 6) /(x+y) =0,36 , где 12+6 – абсолютное содержание серебра, а (x+y) – общая масса.

Получим систему:

12/y - 6/x =0,4 .

(12 + 6) /(x+y) =0,36

Решая систему, получим:

y² - 95y+1500=0

Откуда y₁=20 кг, y₂=75 кг – не удовлетворяет условию x+y=50 кг (*)

Тогда x=50-20=30кг

Итак, масса I слитка – 30 кг.

Масса II слитка – 20 кг

V.Самостоятельная работа учащихся по вариантам:

1. Смешали два сплава с содержанием меди 5% и 40%. Сколько нужно взять кг каждого сплава, чтобы получить 140 кг нового с содержанием меди 30%?

2. Смешали 10% и 25% растворы серной кислоты и получили 3кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора смешали?

VI.Домашнее задание: две задачи распечатаны на листах, которые получили учащиеся в начале урока.

VII.Итог урока:

Сегодня мы рассмотрели решение текстовых задач на смеси и сплавы.

Ребята отвечают на вопросы:

1. что необходимо знать при решении таких задач? – абсолютное и процентное содержание вещества

2. какая связь между абсолютным и процентным содержанием?

3. Как найти концентрацию вещества при образовании новой смеси или при сплавлении?

-подсчитать абсолютное содержание веществ в каждой смеси или сплаве

-сложить абсолютное содержание

-найти общую массу получаемого раствора или сплава.

-найти концентрацию.

4) какими способами мы решали данные задачи?

-арифметически, составлением уравнений и систем уравнений.

Как мы видим, решение любой задачи на смеси, и сплавы сводится к нахождению абсолютного и процентного содержаний компонентов смеси или сплавов, фигурирующих в условии задачи.

Комментарии:

При решении задач ребята достаточно хорошо усвоили нахождение абсолютного и процентного содержания вещества. Затруднения возникли при решении полученной системы уравнений с двумя неизвестными – решают менее рациональными способом – подстановкой (задача 4), вместо сложения, что привело к громоздким вычислениям; не всегда видят, что нужно обозначить за неизвестную величину – x. Поэтому в течение урока я стараюсь ставить ученика в позицию говорящего и «делающего», т.к. не высказываясь на уроке, они хуже усваивают изучаемый материал и у них развивается неуверенность в своих силах.

Заверяю достоверность информации Директор МОУ «Лицей»

Дуко В.М.