Конспект урока «Формулы сокращенного умножения. Квадрат двучлена» по математике

Тема: Формулы сокращенного умножения. Квадрат двучлена

Цели урока:

- формирование знаний о формулах сокращенного умножения, в частности, квадрата двучлена и

применение этих формул к преобразованию выражений;

- развитие познавательного интереса, умения давать геометрическую

интерпретацию алгебраическим выражениям, находить (устанавливать) связь

между аналогичными выражениями;

- воспитание самостоятельности в рассуждениях, умения грамотно читать

алгебраические выражения.

План урока:

1. Устные упражнения

2. Историческая справка

3. Основное содержание урока.

Вывод формулы квадрата двучлена

4. Закрепление изученного материала

5. Самостоятельная работа (по группам)

6. Подведение итогов урока

7. Постановка домашнего задания

Ход урока

1. Устно:

1) Как найти площадь прямоугольника?

2) Как найти площадь квадрата?

3) Найти квадраты выражений: 3, с, -4, 3m, 5х² у³

4) Найти произведение 3х и 6у. Чему равно удвоенное произведение этих чисел?

5) Прочитайте выражения:

a+b; a² +b² ; (a+b)² ; x-y; (x-y)² ; x²-y²; m³ –n³ ; m² +2mn+n² ; (k+t)³;

m³ - 3m²n + 3mn² – n³

2. Историческая справка:

«Всё есть число» - это высказывание приписывается знаменитому древнегреческому ученому Пифагору, жившему в VI веке до нашей эры.

Пифагор считал, что все математические понятия можно выразить через натуральные числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дробей.

Но позже было доказано (и мы тоже будем это доказывать), что, например, диагональ квадрата со стороной 1, нельзя выразить даже рациональным числом.

Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Знаменитую теорему Пифагора можно сформулировать так: « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах ». С помощью букв можно записать: с² =a² +b².

Сейчас это равенство можно рассматривать как уравнение и отыскивать, например, натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению. Такие тройки натуральных чисел (a, b, c) так и называют « пифагоровы тройки ».

Позже (III в. До н.э.) другой древнегреческий ученый Евклид вывел на I место геометрию, подчинив ей алгебру ( геометрия, которую мы с вами изучаем, - евклидова). Затем евклидов аксиоматический подход в геометрии (любые, в том числе самые сложные геометрические представления сводятся к ряду очевидных утверждений - аксиом) переходят на другие математические науки, в частности, на алгебру. Например, законы сложения и умножения: переместительный, сочетательный, распределительный, являются в алгебре аксиомами, т.к. они принимаются без доказательства.

Сегодня мы с вами побываем учениками Пифагора и Евклида и попробуем установить связь между алгеброй и геометрией, не подчиняя их друг другу.

3. Основное содержание урока:

1) Как можно изобразить выражение a² ?

2) Изобразите выражение b²

3) Как изобразить выражение ab?

4) Изобразите выражение (a + b )²

5) На полученном чертеже выделите два квадрата со сторонами a, b.

6) Выразите площадь квадрата со стороной (a + b) через площади квадратов со сторонами a, b, т.е. попробуйте записать формулу.

7) При каких значениях переменных будет истинна полученная формула?

Отвлечёмся от изображений и посмотрим только на записанную формулу. Мы, как ученики Пифагора, можем утверждать: «Всё есть число!»

А может ли данное равенство выполняться при любых значениях переменных?

Вернёмся к Евклиду, его аксиоматике. Зная аксиомы планиметрии, мы можем изобразить квадрат, прямоугольник. Но то, что мы действительно получили квадрат и прямоугольник, требует доказательства.

1. Как в геометрии называют утверждения, которые требуют доказательства?

2) Таким образом, зная аксиомы алгебры, а именно законы сложения и умножения, нам надо доказать, что равенство (a + b )² = a² +2 ab + b² будет являться тождеством.

Следовательно, это утверждение можно назвать …? (теоремой)

Давайте сформулируем данную теорему (для этого достаточно просто прочитать данное равенство). Выделим условие и заключение теоремы. Итак, что дано? (квадрат суммы двух выражений (a + b)²). Что надо доказать? (a² +2 ab + b² )

Переходим к доказательству. Ваши предложения?

Доказательство сводится к тому, что мы должны левую часть равенства представить в виде правой его части.

Доказательство: (a + b)² = (a + b)∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² +2 ab + b²

Что и требовалось доказать.

4. Поиграем в изобретателей новых формул. Часто говорят, что «все новое – это хорошо забытое старое с некоторыми изменениями». Что же можно изменить в левой части данной формулы?

1) попробуем поменять знак на противоположный: (a - b)². Как найти правую часть?

2) полученную формулу выделяем в рамочку.

Это – новая формула: (a - b )² = a² -2 ab + b² .

5. Закрепление (2 человека вызываются к доске)

Представить квадрат двучлена в виде многочлена: 1) (8x + 3)² ; 2) (10x – 7y)²

6. Самостоятельная работа по группам

Задание

Ключ: I - 3 ; II - 2 ; III -1 ; IV – 3 .

7. Подведение итогов урока

8. Постановка домашнего задания

1) выучить по учебнику формулы и словесные формулировки;

2) решить № 370, 371

3) рассмотреть геометрическую интерпретацию выражений (a - b)² ; (a - b)∙ (a + b).