Презентация "Производная и её применение" по математике – проект, доклад

«Производная и ее применение в алгебре, геометрии».

Цель работы:

Закрепление изученного материала по теме «Производная» и ознакомление с её прикладной частью.

План работы:

1.Исследование функции на монотонность 2.Касательная к графику. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций. 4.Нахождение дифференциала для приближенных вычислений. 5.Доказательство неравенств.

Определение производной

Производной данной функции в точке х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b. функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a

Решение: Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна: у' = Зх2 — 2х — 8. Корни трехчлена: x1= - 4/3, x2=2. Отсюда: у' =3(х+4/3)(х-2). возрастает убывает возрастает + -4/3 - 2 + Ответ: функция возрастает в промежутках - ∞ < x < -4/3 и 2 < x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.

Вообразим, что на кривой АВ точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С. Точка С называется точкой прикосновения или касания.

Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то: 1) в этой точке имеется касательная к графику функции, 2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

∙

Задача . Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из точки M(4;3). Решение.

укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0); y’(x0) = 1/6 ∙ (-2x) = -x/3; т.к. укас проходит через M(4;3), то 3 = (9—x02) — (4—x0) ∙ x0/3 x02—8 x0—9 = 0; Д/4 = 16 + 9 = 25; x0 = 9; x0 = -1 укас1 = - 12 - 3 ∙ ( x – 9) = -3x + 15 укас2 = 4/3 + 1/3 ∙ (x + 1) = 1/3x + 5/3 5 А A(5;0); B(-5;0); AM = 2√ 5 (ед.); М AB = 10 (ед.); 3 BM = 4√5 (ед.); 4 р/2 = 3√5 +5 S = √ (3√5 +5) ∙ (√5 +5 ) ∙ (5 - √5 ) ∙ (3 √5 -5) S = 20 ( кв.ед. ). В Ответ: 20 кв.ед.

Задача . В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО  АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK ∙AP/2 SK/2— высота параллелограмма ANMP.

В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDАР LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24 – x). Из ΔCLP: KC = (6x ∙x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = = 6x/(√(36+ (24—x)2); Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ; Из ΔADP: AP = √36+(24—x)2; Sсеч = AP∙SK/2 = 0,5∙(√36+(24—x)2) 2√16+9x2/(36+(24—x)2) = =√16(36+(24—x)2)+9x2; Если S’(x) = 0, то 18x+16 ∙2(24—x)(-1) = 0; 50x—768 = 0, x = 384/25 (это точка min); Sсеч = 312; DP = 24—384/25 = 216/25; Ответ: 312 кв. ед.; DC- 384/25; 216/25.

4.Нахождение дифференциала для приближенных вычислений.

Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.

dy=f '(x)∙∆x (I)

при достаточно малом ∆x

∆y ≈ dy =f '(х)∆x

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x);

f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ ∆x

Пример:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

. В нашем случае: . Вычисляем: ; . Имеем:

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

5.Доказательство неравенств.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

Задача . Доказать что (e+x)e-x > (e-x)e+x для 0 < x < e.

Решение. Данное неравенство равносильно следующему: (e - x) ∙ln(e + x) > (e + x) ∙ln(e - x). Пусть f(x)=(e-x) ∙ln(e + x) - (e + x)∙ ln(e - x), тогда f/(x)= -ln(e + x)+(e - x)/(e + x) - ln(e - x)+(e + x)/(e - x). Так как (e - x)/(e + x)+ (e + x)/(e - x)=2(e2+x2)/(e2-x2) > 2, ln(e + x)+ln(e - x)=ln(e2-x2) < lne2 = 2, то f/(x) > 0 при 0 < x < e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) - непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0 < x < e, то f(x) > 0 при 0 < x < e. Отсюда получаем решение задачи.