Конспект урока «Теорема Пифагора» по геометрии для 8 класса

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный

Приветствие учащихся.

Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Сегодня на уроке мы научимся находить длины сторон прямоугольного треугольника.

Узнаем формулу нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника. Выведем формулы для нахождения длины катета, зная длину другого катета и гипотенузу.

Актуализация знаний

1. Подготовительная работа

• Как называются стороны прямоугольного треугольника?

• Какие свойства прямоугольного треугольника вы знаете?

2. Решение задач по готовым чертежам

(Фронтальная работа с классом с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала)

1. Рис. 373. Найти:S_ABCD

2. Рис. 374. Найти: β

3. Рис. 375. Найти: β

4. Рис. 376. Доказать: МNPK – квадрат.

Катеты и гипотенуза

Катет, лежащий против угла в 30◦ равен половине гипотенузы.

Первичное усвоение новых знаний

1. Историческая справка

Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость, которой была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно за долго до Пифагора.

2. Доказательство теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство теоремы идёт под руководством учителя. На доске и в тетрадях учащихся – рисунок (рис.377) и доказательство.

Дано: ∆АВС, ^◦, АВ = с, ВС = a,

АС =b

Доказать: c² = a²+b²

Доказательство:

1. Достроим ∆АВС до квадрата CKPD

со стороной (a + b)

S_CKPD = (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. ∆ BCA = ∆ ADM = ∆ EPM = ∆ EKB –

по двум катетам.

S_BCA = S_ADM = S_EPM = S_EKB = ab/2

3. BAEM квадрат S_BAEM = с²

4. S_CKPD = S_BAEM + S_BCA + S_ADM + S_EPM +

+ S_EKB = c² + 4·(ab/2) = a² + 2ab + b² =

c² + 2ab = a² + 2ab + b² , откуда c² = a² + b²

3. Другие доказательства теоремы:

Доказательство Пифагора:

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Доказательство Гофмана:

1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.

Построим BF=CB, BF^CB

Построим BE=AB, BE^AB

Построим AD=AC, AD^AC

Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

2. Четырехугольники ADFB и ACBE

равновелики. Треугольники ABF и ЕCB равны. Значит треугольники ADF и ACE тоже равны.

3. Отнимем от обоих равновеликих

четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:

1/2а²+1/2b ²=1/2с ²

4. Соответственно:

а²+ b ² =с ²

Алгебраическое доказательство индийского математика Бхаскари

Первичная проверка понимания

1. Решение задач:

• Найдите гипотенузу прямоугольного

треугольника, если катеты равны 6 и 8 см

соответственно.

• Найдите катет прямоугольного

треугольника, если гипотенуза и катет

равны 12 и 13 см соответственно.

• В прямоугольнике ABCD найдите

AD, если АВ = 5, АС = 13.

2. Работа по учебнику №487

Дано: ∆АВС равнобедренный треугольник,

АС – основание, АВ = 17 см, АС = 16 см.

Найти: высоту, проведённую

к основанию.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике

высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому

AD = AC :2 = 16 : 2 = 8(см).

2. ∆ АВD – прямоугольный. По теореме

Пифагора: AB² = AD² + DB² , откуда DB² = AB² - AD² или ВD² = 17² - 8² = 225.

Т.к. DB > 0, то DB = 15 см.

Первичное закрепление

Занимательные задачи по теме: «Теорема Пифагора».

1. Древнеиндийская задача

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?

 Решение:

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х,

тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5)² – Х² = 2² ,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

1. Задача индийского математика

XIIв. Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал.
И угол прямой с теченьем реки
его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
в четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
у тополя как велика высота?

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

1. п.54 №483(б, г), №484(а). Инструктирует по выполнению заданий.

2. Творческое задание:

• Существует более 100 способов

доказательства теоремы. Найдите другие способы доказательства этой теоремы.

• Найдите ответ на вопрос: «Почему теорему

Пифагора называют теоремой пчёлки или теоремой невесты?»

Рефлексия

О теореме Пифагора

   Пребудет вечной истина, как скоро
   Все познает слабый человек!
   И ныне теорема Пифагора
   Верна, как и в его далекий век.

A.Шамиссо

Чем необычный был для вас сегодняшний урок?

- Что нового и интересного вы узнали на уроке?

- Что научились делать?

- Оцените удовлетворенность своей работой на уроке с помощью карточек.

- Спасибо за урок. До свидания.