Презентация "Двугранный угол, решение задач" – проект, доклад

Двугранный угол, решение задач

Урок по геометрии в 10 классе разработан по учебнику Л.С.Атанасяна.

Цель урока:

Сформировать у обучающихся конструктивный подход по выработке умений и навыков находить угол между плоскостями.

Вид урока: изучение и первичное закрепление новых знаний

Оборудование: компьютер, проектор, слайды, чертежные инструменты, цветные мелки.

Решение задач по готовым чертежам на слайдах:

ABCD – прямоугольник, BF ┴ (ABC). Найдите ∟(DC).

А D C B F

ABCD – прямоугольник, BF ┴ (ABC). Найдите ∟(DC). ∟ (СD)= ∟ FCB

А1 С С1 В1 D1 N M

ABCD – паралле- лограмм,АА1┴(ABC). Найдите ∟(СDАМ).

K ∟ CDAM= ∟ MKB

В О

∆АВС, АС=АВ, О – центр вписанной окружности. Найдите ∟ ((АВС),(ВСD)), ∟ ((ABC),(ACD)).

P L

∟((ABC),(BCD))= ∟ DPO ∟((ABC),(ACD))= ∟ DLO

∆АВС прямоугольный (С= 90º)

∆АВС равнобедренный

∆АВС тупоугольный (С> 90º)

Работа по вариантам:

∆АВС прямоугольный (С= 90º) ∟(BC)= ∟ ACF

∆АВС Равнобедренный ∟(BC)= ∟ FPA

∆АВС тупоугольный (С> 90º) ∟(BC)= ∟ APF

Р

A

FB┴(ABC) ABCD - прямоугольник

FB┴(ABC) ABCD - параллелограмм

Найдите угол между (АВС) и (FDC); Найдите угол между (AFB) и (FBC).

∟((ABC), (FCD))=∟FCB б) ∟((AFB),(FBC))=∟ABC

К

а)∟((ABC), (FCD))=∟FKB б) ∟((AFB),(FBC))=∟ABC

а) РАВС - пирамида; ∟АСВ=90º; (РВ) ┴ (АВС) Доказать: ∠ РСВ - линейный угол двугранного угла с ребром АС.

ВС┴АС РВ ┴(АВС) РС ┴ АС => ∠РАСВ= ∠РСВ

в) РАВС - пирамиDа; АВ=ВС; D- сереDина АС; (РВ) ┴ (АВС); Dоказать: ∟РDВ - линейный угол Dвугранного угла с ребром АС.

ΔАВС – равнобед- ренный, D – середина АС, значит: ВD┴АС.

ВD┴АС РD ┴ АС ∠РАСВ= ∠РDВ

с) РАВСD - пирамида; (РВ) ┴ (АВС); (ВК) ┴(DС); Доказать: ∠РКВ - линейный угол двугранного угла с ребром СD.

ВК┴РС РК ┴ DС ∠РСDВ= ∠РКВ

а) РАВС - пирамида; основание - правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом двугранного угла с ребром АС, если: D – середина АС, (РВ) ┴ (АВС).

в) Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан треугольника АВС, (РО) ┴ (АВС);

∠РАСВ - ?

ВК-медиана, ВО ┴АС РО ┴ АВС РК ┴ АС ΔАВС-правильный ВК - высота ∠РАСВ =∠РКВ

с) Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС:

грань АВС – правильный треугольник, О – середина АВ, (РО) ┴ (АВС);

∠РАСО - ?

Н АВ=ВС КО ┴АС РО ┴ АВС КР ┴ АС ВН ┴АС КО║ВН ∠РАСВ =∠РКО

D) Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если: (РВ) ┴ (АВС);

∠ВСDР - ?

ВС ┴СD РВ ┴ АВС РС ┴ СD

Значит: ∠ВСDР= ∠ВСР

АВСD-прямоугольник

ОͼАВ; (РО) ┴ (АВС).

е)Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если:

∠ОСDР - ?

Значит: ∠ОСDР= ∠РНО

РО ┴ АВС РН ┴ СD АD ┴СD ОН║АD ОН┴СD

О – точка пересечения диагоналей АВСD, (РО) ┴ (АВС).

f)Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если:

g) Дан ромб АВСD; (РС) ┴ (АВС). Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD.

АВСD- ромб => СА┴ВD, СА∩ВD=О =>

ОС ┴ВD

Значит: ∠РВDС= ∠РОС

РС ┴ АВС РО ┴ ВD

i) Дана трапеция АВСD; ∠ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если:

(РВ) ┴ (АВС). АD║ВС ∠ВАDР - ?

ВА ┴АD РВ ┴ АВС РА ┴ АD

Значит: ∠ВАDР= ∠ВАР

k) Dана трапеция АВСD; ∠ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если:

О ВС; (РО) ┴ (АВС).

Значит: ∠ВАDР= ∠ОКР

АВ ┴АD ОК║АВ ОК ┴АD РК ┴ АD

l) Dана трапеция АВСD. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: АВ=СD,

ВН ┴АD РВ ┴ АВС РН ┴ АD

Значит: ∠ВАDР= ∠ВНР

АВСD — равнобокая трапеция; АВ=СD, (РС) ┴ (АВС);

m) Dана трапеция АВСD. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если:

СН ┴АD РС ┴ АВС

Значит: ∠САDР= ∠СНР

Вычислительные задачи.

а) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

(РВ) ┴ (АВС); ∠АСВ = 90º; ВС = РВ = 4

АС ┴ВС РВ ┴ АВС

Значит: ∠ВАСР= ∠ВСР

1)

4

2) ВР=ВС => ΔСВР - равнобедренный, ∠С = ∠Р = 45°

Ответ: ∠ВСР = 45°

в) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

(РВ) ┴ (АВС); АВ = ВС = 5 ; ВР = АС = 6 ;

5 6 ∠РАСВ-?

АС ┴ВН РВ ┴ АВС РН ┴ АС

Значит: ∠ВАСР= ∠ВНР

3 2)

ΔАВС -равнобедренный, ВН - высота, значит: ВН- медиана, АН=НС=3, ΔВНС - прямоугольный, ВН2=ВС2-НС2, ВН=4

3) ΔРВН - прямоугольный, tg ∠Н = РВ / ВН, tg ∠Н = 6/4=1,5

Ответ: ∠РАСВ = arctg 1,5

с) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

ΔАВС — правильный треугольник; АВ = 6; О — точка пересечения медиан АВС; (РО) ┴ (АВС);

РО = √3

ВК - медиана, ΔАВС -правильный РО = √3 КО - ?

2) ΔАВС - правильный, О - точка пересечения медиан, значит: ОВ=2ОК.

Найдем ВК. ΔВКС: ВК2 = ВС2-КС2; ВК2 = 27; ВК =3√3

ВК = 3ОК, ОК = √3

РО = √3 КО = √3

3) ΔРОК - прямоугольный, ∠О = 90°, РО = ОК, значит ∠Р = ∠К = 45°.

Ответ: ∠РАСВ = 45°

D) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

АВС — правильный треугольник; О — середина АВ; АВ = 6; (РО) ┴ (АВС); РО = 4 ;

1) ВН - высота правильного ΔАВС,

ВН┴АС ОК║ВН ОК┴АС

ОК ┴АС РО ┴ АВС

3) ВН - высота правильного ΔАВС,

Найдем ВН. ΔВНС: ВН2 = ВС2-НС2; ВН2 = 27; ВН =3√3

ВН =3√3

ΔАВН, О - середина АВ, ОК║ВН => ОК -средняя линия, ОК=ВН/2

ОК=

4) ΔРОК; ∠С = 90°, tg ∠К = РО/ОК, tg ∠К = 4/√3

∠РАСВ = arctg 4/√3 Ответ:

е) АВСD — прямоугольник; ВD = 4√3 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; Двугранный угол с ребром DС равен 60º ; Найти стороны прямоугольника.

1) ∠РDСВ=60°

Значит: ∠РDСВ = ∠РСВ = 60°

ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠РСВ = 60° 60° 4√3

ΔРВС, ∠В = 90°, tg ∠С = РВ/ВС, √3 = 6/ВС, ВС = 6/√3 = 2 √3

2√3

3) ΔВСD; ∠С = 90°, СD2 = ВD2 - СD2; СD2 = 16•3-4•3; СD2 = 36; СD = 6

Ответ: АВ = СD =6; ВС = АD = 2√3.

f) АВСD — прямоугольник; площадь АВСD равна 48 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; DС = 4 ; Найти величину двугранного угла с ребром DС.

∠РDСВ - ?

Значит: ∠РDСВ = ∠РСВ

S(АВСD)=48, РВ = 6, СD = 4.

2) АВСD - прямоугольник

S(АВСD) = АВ•ВС = 48, АВ = СD = 4, 4•ВС = 48, ВС = 12.

12

3) ΔРВС; ∠В = 90°, tg ∠С = РВ/ВС, tg ∠С = 0,5

Ответ: ∠РDСВ = arctg 0,5

g) АВСD — ромб; ВD = 4 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; Найти площадь ромба.

h a Sромба = a • h , Sромба =d1 • d2:2 d1 d2

(РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ;

АО ┴ВD РС ┴ АВС РО ┴ СD

Значит: ∠РВDС = ∠РОС = 45º

45º

45° 8

3) ΔРСО; ∠С = 90°, ∠О = 45° => ∠Р = 45°, ОС = РС = 8.

4)

d1 = 2ОС = 16, d2 = 4, Sромба =d1 • d2:2 S = 32

Ответ: 32

К) АВСD- параллелограмм; ∠АDС = 120º; АD = 8 ; DС =6 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь АВСD .

120° Sпарал-ма= a • h

Sпарал-ма= a • b • sin∠(a,b)

b

S(АВСD) = 8 • 6 • sin 120° =24√3.

h = Sпарал-ма / a h =24 √3 / 8 h =3 √3

H

(РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD

CH ┴AD РС ┴ АВС РH ┴ СD

Значит: ∠РADС = ∠РHС

9 3 √3

3) ΔРCH; ∠C = 90°, tg ∠H = РC/HС, tg ∠H = 3/ √3 = √3 ∠H = 60°

Ответ: ∠РADC = 60°, S(АВСD)=24√3.

Задача №2 (а)

Ребро - TM, грани: PTM, TMK; В грани KTM: KH┴TM, где H-середина TM (по свойству р\б ∆) В грани PTM: в грани KMH:QL ‖ KH(по построению) KH ┴TM(по доказанному) => QL┴TM (по лемме о связи ┴ и ‖); в грани PMT: PL┴TM (по т. о 3х ┴) ﮮ(PL;QL)=ﮮPLQ является линейным для данного двугранного

Ответ: ﮮPLQ – линейный для двугранного PTMK

"Перпендикулярность плоскостей. Двугранный угол"

Тема №5

Дано: KMPT-тетраэдр;∆TMK правильный;Q-середина KM,Q-проекция P на TMK Указать: линейный угол для двугранного угла PTMK

T Q

Задача №2 (в)

Ребро - KT, грани: PKT, KTM; В грани MKT: MX┴KT, где Х-середина KT (по свойству р\б ∆) QY ‖ MX (по построению) MX┴KT (по доказанному) => YQ┴KT (по лемме) В грани KTP: PY ┴ KT (по т. о 3х ┴) ﮮ(PY;YQ)=ﮮPYQ линейный для PKTM

Ответ: ﮮPYQ – линейный для двугранного PKTM

Дано: KMPT-тетраэдр;∆TMK правильный;Q-середина KM,Q-проекция P на TMK Указать: линейный угол для двугранного угла PKTM

х Y

Дополнительная задача:

COS ∟ FBCD=COS∟OKF BF=5, BC=6 ∆BFK; ∟BKF=90º FK=^25-9= =^16=4 COS∟OKF=OK/FK= =3/4=0,75 ∆OFK; ∟FOK=90º

O

М

Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису третьего плоского угла .

Решение задач:

Боковая поверхность треугольной пирамиды равна S, а каждое из боковых ребер l. Найдите плоские углы при вершине, зная, что они образуют арифметическую прогрессию П/3.

Проверка:

L,B,Y; B=L+П/3; Y=B+П/3=L+2П/3 YП/3 Итак, L>П/3, но B=L+П/3>2П/3; Y=L+2П/3>П/3+2П/3 Вывод: такого угла не существует.

Все грани параллелепипеда равные ромбы со стороной a и острым углом 60º. Найдите высоту параллелепипеда.

Домашнее задание:

п. 22,23. Изучить определение перпендикулярных плоскостей, теорему