Презентация "Невизначений інтеграл" по математике – проект, доклад

Основною задачею диференціального числення є задача диференціювання, тобто задача відшукання швидкості змінювання деякої функції. Але на практиці часто виникає потреба у розв’язанні оберненої задачі: якщо відома швидкість змінювання функції знайти цю функцію. Тобто потрібно знайти функцію, якщо відома похідна цієї функції. Ця операція називається інтегруванням. Визначимо цей термін.

1. ПЕРВІСНА І НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Нехай G(x) теж первісна для функції f (x) , тобто G′(x) = f (x) , але і F′(x) = f (x) . Розглянемо різницю G(x) − F(x) і позначимо її через R(x). Тоді R′(x) = [G(x) − F(x)]′ = G′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0 . Тобто R′(x) = 0, а тому R(x) - стала величина, і R(x) = C = G(x) − F(x) . Таким чином, дві первісні для функції f (x) відрізняються на сталу величину і вираз F(x) + C зображує загальний вигляд шуканої первісної функції, або інакше - повну сім’ю первісних для функції f (x) .

Означення. Якщо F(x) первісна для функції f (x) , то вираз F(x) + C , де С може приймати будь-яке стале значення, називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається символом ∫ f(x)dx , де ∫ - позначення інтегралу, f (x) - підінтегральна функція, f(x)dx - підінтегральний вираз. Таким чином, рівність ∫ f (x)dx = F(x) + C є лише інший запис співвідношення F′(x) = f (x) , або (F(x) + C)′ = f (x).

З геометричної точки зору невизначений інтеграл - це сім’я кривих (інтегральних кривих), кожна з яких отримується шляхом зсуву однієї з кривих паралельно самій собі угору або вниз вздовж осі Оy. Операція знаходження невизначеного інтеграла (тобто відшукання F(x) + C ) від даної функції f (x) називається інтегруванням функції f (x) . І нарешті виникає питання: чи для будь-якої функції існує первісна, а відповідно і невизначений ?

ТЕОРЕМА (про існування первісної). Якщо функція f (x) неперервна на деякому інтервалі, то для цієї функції існує первісна (а тому - і невизначений інтеграл). Інтегрування – операція обернена операції диференціювання (тобто операції знаходження похідної від функції ), тому правильність результату інтегрування можна завжди перевірити диференціюванням первісної. Приклад. тому що

1. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна стала ∫dF(x) = F(x) + C . Доведення: Нагадаємо, що диференціал функції y = f (x) знаходиться за формулою : dy = f ′(x)dx , тому ∫dF(x) = ∫ F′(x)dx = ∫ f (x)dx =F(x) + C . 2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу d ∫ f (x)dx = f (x)dx . Доведення: d ∫ f (x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) + dC = F′(x)dx + 0 = f (x)dx .

2. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

3. ∫c ⋅ f (x) dx = c ⋅ ∫ f (x)dx , де c ≠ 0 , тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла. 4. тобто невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій. 5. Якщо ∫ f (x)dx = F(x) + C , то ∫ f (ax + b )dx =1/а F(ax + b) + C, де a і b сталі, (а =0).

3. ТАБЛИЦЯ НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

6. ∫cos xdx = sin x + C. 7. 8. 9.

10. 11.