Презентация "Сложение гармонических колебаний" по физике – проект, доклад

Лекция 33. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

1. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (I)

Сложение гармонических колебаний одного направления облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Такой способ называется векторной диаграммой. Из точки 0, взятой на оси x отложим вектор длины А, образующий с осью угол Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью то координата конца вектора будет изменяться по закону Следовательно, проекция конца вектора на ось x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора циклической частотой и начальной фазой равной углу, образуемому вектором с осью x в начальный момент времени.

2. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (II)

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела будет суммой смещений исходных колебаний

Представим оба колебания с помощью векторов и Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов и

Вектор задает результирующее колебание с той же частотой и амплитудой которую определим по теореме косинусов: Из рисунка понятно, что

3. БИЕНИЯ (I)

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Пусть – циклическая частота первого колебания, тогда – час- тота второго колебания, причем (близкие частоты). Для простоты будем полагать, что амплитуды колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения колебаний имеют вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем

4. БИЕНИЯ (II)

Первый множитель в формуле

изменяется значительно медленнее, чем второе, так как Это позволяет рассматривать результи-рующее колебание как гармоничес-кое с высокой частотой амплитуда которого пульсирует с низкой частотой Такое колебание называется биениями.

Амплитуда биений определяется модулем выражения, стоящего перед гармонической функцией высокой частоты

Амплитуда колеблется с частотой – частотой биений.

5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одной частоты. Пусть колебания вдоль оси происходят с нулевой начальной фазой, а вдоль оси со сдвигом по фазе на Тогда уравнения колебаний примут вид:

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде исключим время Из первого уравнения следует, что

Подставляя синус и косинус в формулу для получим: Уединяя иррациональность и возводя в квадрат, придем к уравнению

которое представляет собой уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса в общем случае не совпадают с осями координат.

6. ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ

Определим форму траектории результирующего колебания для некоторых частных случаев. Пусть В этом случае общее уравнение траектории

принимает вид Движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с амплитудой

2. Пусть В этом случае

Траектория является прямой, лежа- щей во 2-м и 4-м квадрантах.

7. ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ

При общее уравнение траектории

принимает вид

Это уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний.

При движение против часовой стрелки.

При движение по часовой стрелке

8. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

Если

то уравнение траектории

Знак «+» в выражении для соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – движению по часовой стрелке.

При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность. Это означает что равномерное движение по окружности радиуса с угловой скоростью может быть представлена как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний

9. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ

Если частоты взаимно пер- пендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Наиболее простой вид имеют фигуры Лиссажу для случая, если отношение частот – это простая рациональная дробь.

Пусть, частоту колебаний вдоль оси можно представить в виде а вдоль оси – где и – натуральные числа. За то время, пока вдоль оси точка успевает переместится из одного крайнего положения в другое раз, вдоль оси она совершит таких перемещений. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.