Презентация "Случайные величины: законы распределения" по физике – проект, доклад

Случайные величины: законы распределения

Что было: понятие о случайной величине

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x F (x) = P (X

Что было: функция распределения

Интегральная функция распределения P(X≤x)=F(x) и ее свойства: 1) 0≤F(x)≤1; 2)F(-∞)=0; 3)F(+∞)=1; 4)для x2>x1 всегда F2>F1;

Кумулятивная функция дискретного распределения

Интегральная функция распределения

Дифференциальная функция вероятности: существует только для непрерывных случайных величин! lim∆x->0 ∆F/∆x=F'(x)= f(x) - плотность вероятности И наоборот: -∞∫х f(x) dx=F(x) Свойства: 1) f(x)≥0 2) ∫f(x)dx=1

Интеграл как площадь

Функция плотности вероятности

Характеристики функции распределения

Дискретная случайная величина Математическое ожидание: М[x]= Дисперсия D[x]= Мода (значение с наибольшей вероятностью) Мо=Xi | p(xi)=pmax Медиана

Непрерывная случайная величина Математическое ожидание: M[X]= Дисперсия D[X]= Мода (значение с наибольшей плотностью вероятности) Мо=xi | f(xi)=max Медиана

Знаем: какие бывают случайные величины; что такое интегральная (кумулятивная) функция распределения и распределение плотности вероятности; вероятность попадания Х на отрезок (а,b); как описать распределение F(x). Не знаем, какие бывают F(x)

Законы распределения случайных величин

Равномерное распределение №1

Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на (а,b), если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его. Функция P(Xb Математическое ожидание: M[x]=(a+b)/2 Дисперсия: D[x]=(b-a)2/12

График интегральной функции распределения

График плотности вероятности

Равномерное распределение №2

Дискретная случайная величина имеет равномерное распределение, если ее функция вероятности на всей области определения (a,b) имеет вид P(x)=1/n, где n — число исходов M[x]=(a+b)/2 - мат.ожидание D[x]=(n2-1)/12 - дисперсия

График кумулятивной функции

График характеристической функции

Характеристическая функция, P(x)

Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она имеет значения {0...n}, а вероятность Х=m P(X=m)= Биномиальное распределение описывает вероятность m успехов при n возможных исходов M[X]=n*p - мат. ожидание D[X]=n*p*q - дисперсия, где p - вероятность успеха, q - вероятность неуспеха

Кумулятивная функция, F(X

Степенной закон распределения

Случайная величина имеет степенной закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: f(x)=Cx-α , при α=[2,3] Свойства: ассиметричное распределение с «тяжелым» хвостом прямая линия на log-log шкале; Вид графика не зависит от масштаба (scale invariance)

Принцип Парето: 80/20

M.E.J. Newman. Power laws, Pareto distribution and Zipf's law/ arXiv:cond-mat/0412004

Нормальное распределение

Центральная предельная теорема в применении к Ψ: Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения

Гауссиана — график нормального распределения

Закон нормального распределения

Где: β — среднеквадратичное отклонение (σ); α — среднее (М); e, π - константы

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами α и β, если ее плотность вероятности имеет вид:

Правило 3 сигм

При нормальном распределении: M(+/-)σ=68,26% M(+/-)2σ=95,44% M(+/-)3σ=99,72%, M(+/-)3σ - интервал всех возможных значений

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок(с,d)

Табличная функция Лапласа

Свойства нормального распределения

Правило 3 сигм (99,72% значений лежат в рамках M+/-3σ) Распределение симметрично (А=0), эксцесс, т.е. мера остроты пика или Е = 0 Мода, медиана и среднее совпадают Значения, лежащие на равном расстоянии от M (среднего), будут иметь равную частоту в репрезентативной выборке

Проверка распределения на «нормальность»

Графический способ; Статистический критерий Колмогорова-Смирнова (N>50 человек) ; W-критерий Шапиро-Уилка (N > 8 человек); Критерий ассиметрии и эксцесса См. ГОСТ Р ИСО 5479—2002

Критерий асимметрии и эксцесса

1. Определить среднее арифметическое (М) и стандартное отклонение (σ). 2. Рассчитать показатели асимметрии и эксцесса. А= Е= -3 3. Рассчитать критические значения А и Е А Е 4. Если А

Закон нормального распределения: следствия

Знаем, какой процент испытуемых наберет определенные баллы по тесту; Стандартизируем на этой основе баллы по тесту; Оцениваем параметры генеральной совокупности по выборочным данным; Рассчитываем статистическую значимость наших выводов; И задействуем его во всей индуктивной статистике в той или иной степени...