Презентация "Дифракция сферических волн" по физике – проект, доклад

Дифракция сферических волн (дифракция Френеля).

4.7.

Постановка задачи.

4.7. Дифракция Френеля.

Рассмотрим теперь случай, когда на преграду (отверстие) падает сферическая волна (волновой фронт – сфера), исходящая из точечного источника. Известна длина волны λ, размер отверстия b и расстояние от источника до преграды (отверстия) a1 и расстояние от преграды до экрана a2. Требуется Определить, как распределена интенсивность излучения по направлениям (на экране).

Для того, чтобы определить интенсивность излучения в произвольной точке экрана, необходимо просуммировать вклады в интенсивность от всех точечных источников открытой части волнового фронта.

1. Записать уравнение волны, излучаемой каждой точкой открытой части волнового фронта.

Можно сформулировать следующий алгоритм суммирования интенсивностей излучения.

2. Разделить открытую часть волнового фронта на зоны Френеля.

3. Просуммировать вклады от всех зон Френеля в интенсивность излучения в точке наблюдения.

Уравнение волны от одного точечного источника в случае дифракции Френеля.

4.8. Уравнение волны от одного точечного источника в случае дифракция Френеля.

Пусть S – точечный источник сферических волн. К моменту вре-мени t = τ фронт волны представ-ляет собой сфери-ческую поверх-ность σ.

dσ – элемент сферической поверхности, который в дальнейшем мы будем считать источником вторичных волн;

- вектор нормали к элементу сферической поверхности dσ.

ψ – угол между вектором нормали к dσ и направлением на точку наблюдения;

r – расстояние от элемента dσ до точки наблюдения.

Уравнение сферической волны в общем случае можно записать так

Пусть начальная фаза колебаний волны, испускаемой источником S равна нулю. Тогда запаздывание по фазе колебаний на поверхности σ составит

- амплитуда сферической волны, исходящей из источника S.

Тогда для колебаний, происходящих на поверхности σ можно записать

Величину E0 можно считать амплитудой колебаний на поверхности σ.

Для волн, исходящих из точечных источников на поверхности σ

Здесь E0σ - амплитуда волны, исходящей с элемента поверхности σ.

Коэффициент K(ψ) определяет зависимость амплитуды колебаний волны от направления, то есть от угла ψ.

K(ψ) = Kmax при совпадении направлений вектора нормали с направлением на точку наблюдения; K(ψ) = 0 при ψ ≥ π∕2 (не существует волн, распространяющихся внутрь поверхности σ).

Суммарная напряжённость электрического поля в волне, исходящей из всех точечных источников на поверхности σ (или её участка σ1)

Разбиение сферического волнового фронта на зоны Френеля.

4.9. Разбиение сферического волнового фронта на зоны Френеля.

Для того, чтобы выполнить суммирование (интегрирование), разобьём весь волновой фронт на зоны Френеля, исходя из условия

Волны из двух соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе.

Радиус зоны Френеля

Чтобы найти ра-диус зоны Френе-ля, нужно опреде-лить высоту сфе-рического сегмен-та

Rm и h определим из прямоугольных треугольников SN1Q1 и PN1Q1.

h – высота сфери-ческого сегмента. Без неё нельзя определить ни радиус, ни площадь зон Френеля.

Пренебрежём малой величиной порядка λ2 :

Отсюда высота сферического сегмента

Теперь определим радиус зоны Френеля номер m:

Итак,

После подстановки

Согласно определению площади зон Френеля должны быть равны. Проверим, выполняется ли это условие.

Площадь зоны Френеля номер m равна разности площадей сферических сегментов.

Площадь сферического сегмента равна

Площадь зоны Френеля номер m:

Площади зон Френеля не зависят от номера зоны m, следовательно, они равны. Это условие выполняется для не слишком больших номеров зон m, таких, что

Напомним, что формула для радиусов зон Френеля справедлива при выполнении этого же условия.

1. Радиусы зон Френеля можно определить по формуле:

2. Площади зон Френеля равны.

Выводы:

4.10.

Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.

4.10. Вычисление интенсивности излучения при дифракции Френеля.

Интенсивность излучения в точке наблюдения P пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля.

Для того, чтобы вычислить этот интеграл мы (вслед за Френелем!) разделили волновой фронт на зоны, обладающие следующими свойствами.

1. В точку наблюдения P волны из двух соседних зон приходят с разностью хода λ/2.

2. Радиусы зон Френеля можно определить по формуле:

3. Площади зон Френеля равны.

Свойства зон Френеля:

4. Свойства 2 и 3 справедливы для не слишком больших номеров зон m, таких, что

Итак, приступаем к вычислению интеграла

Определим элемент поверхности dσ. В рассматриваемом случае

Из треугольника SNP по теореме косинусов:

Продифференцируем последнюю формулу по r и по θ.

Подставим полученное выражение в интеграл:

Теперь воспользуемся разбиением волнового фронта на зоны Френеля и сначала подсчитаем вклад в напряжённость поля от одной зоны Френеля, зоны номер m.

Будем считать, что коэффициент в пределах одной зоны Френеля постоянен. Для каждой зоны K(ψ) имеет своё определённое значение. K(ψ) = Km(ψ) = Km.

Вклад в напряжённость поля от одной зоны Френеля номер m равен

Подставим полученное значение интеграла в формулу для напряжённости поля от одной зоны Френеля номер m:

Итак, вклад в напряжённость поля в точке наблюдения от одной зоны Френеля номер m равен

Напряжённость поля в точке наблюдения, создаваемая всеми зонами Френеля равна сумме вкладов от каждой зоны.

Рассмотрим сумму в скобках. Коэффициенты Ki для соседних зон не сильно отличаются друг от друга, поэтому

Сумму в скобках можно теперь представить так:

Слагаемые в квадратных скобках можно считать равными нулю. Таким образом, при полностью открытом фронте остаётся только первое слагаемое и последнее слагаемое, соответствующее очень большому номеру зоны.

При полностью открытом волновом фронте (m → ∞)

Интенсивность пропорциональна квадрату напряжённости.

A3. Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения =1м. Длина волны света =500 нм.

Ответ: =0,71 мм, =1,0 мм, =1,22 мм, =1,41мм, =1,58 мм.

A1. Свет от монохроматического источника (λ = 600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии L = 3 м от нее находится экран. Какое число m зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, если точка наблюдения находится на экране напротив центра отверстия? Каким будет центр дифракционной картины на экране – темным или светлым?

Ответ: m = 5; центр дифракционной картины будет светлым.

Дано: λ = 600 нм L = 3 м d = 6 мм m - ?

Решение