Конспект урока «Комбинаторика» по математике для 9 класса

Швец Тамара Александровна, учитель математики

МОУ СОШ № 65 г. Краснодара

Урок для 9 класса по теме «Комбинаторика»

Цель урока: обобщение и систематизация полученных знаний.

Задачи урока:

1. Закрепление знаний учащихся по изученным темам.

2. Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся.

3. Воспитание творческого подхода к решению задач.

4. Развитие математических компетенций.

Результаты урока.

Учащиеся должны иметь представление:

- об основных законах комбинаторики - правиле умножения и правиле сложения;

- о перестановках и перестановках с повторениями;

- о размещениях;

- о сочетаниях;

- о факториале.

уметь:

- подсчитать количество перестановок;

- использовать правила сложения и умножения при решении задач;

- подсчитать количество размещений из n предметов по m;

- отличить сочетания от перестановок и подсчитать количество сочетаний;

- знать, что такое факториал;

- уметь на практике применять полученные знания.

1 этап. Обобщение знаний.

- Что такое комбинаторика? (фронтальная беседа)

- Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

- «Нужна ли нам наука комбинаторика?»

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

Доклад учащегося «Из истории комбинаторики».

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно

образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы

комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели

вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара

вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что

индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике,

науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с

подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких)

слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика

сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.)

французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую

главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о

числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах.

П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с

теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после

опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном

искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и

перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулливо

второй части своей книги "Arsconjectandi" (искусство предугадывания) в

1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами

учебных руководств только в XIX в. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двухосновных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

II этап. Основные понятия и формулы комбинаторики (слайды презентации).

1.Определение перестановки.

2.Подсчет количества перестановок из n предметов по m.

3.Правило умножения.

4.Правило сложения. Понятие факториала.

5.Размещения. Определение размещений.

6.Подсчет количества размещений из n предметов по m.

7.Сочетания. Количество сочетаний.

8.Перестановки с повторениями.

9.Число перестановок в случае двух типов объектов.

Примеры:

1. Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?

2. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из нашего класса

в 29 человек.

3. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2,

3, 4?

4. Каких чисел больше среди первых 100, натуральных чисел: содержащих в своей записи цифру 7 или нет?

Пример 1. Даны цифры 1, 2, 3, 4 .

a) Сколько различных двузначных чисел можно составить из них?

(цифры не повторяются, т.е. выбранная цифра назад не возвращается)

Эти числа можно назвать:

12 21 31 41

13 23 32 42

14 24 34 43

На первое место выбираем любую из четырёх цифр – 4 способа,

для цифры единиц берём одну из трёх оставшихся цифр – 3 способа.

Каждому выбору цифры десятков соответствует три выбора цифры единиц. Всего 4×3=12 двузначных чисел.

б) А сколько трёхзначных чисел?

Если первые 2 цифры выбраны количеством способов 4×3=12, то третью цифру выбираем из двух оставшихся. Всего способов составить трёхзначное число 4×3×2=24

Вот эти числа:

123 124 312 314

132 134 321 324

142 143 341 342

213 214 412 413

231 234 421 423

241 243 431 432

Если есть n элементов, то размещениями из n элементов по к (к ≤ n) называются выборки, отличающиеся друг от друга или составом элементов, или их порядком.

Количество размещений обозначается:

Перестановки

Произведение первых n натуральных чисел называется n-факториал и

обозначается1×2×3×…n = n!

Пример:

3! = 3×2×1 = 6

4! = 4×3×2×1 = 24

Определение

Размещения из n по m элементов, содержащие все n элементов и отличающиеся только порядком элементов называются перестановками из n элементов.

Их количество обозначается

Задачи:

1) Составить все перестановки из элементов {a,b,c}

Их P3 = 3! = 1×2×3 = 6

abcbaccab

acbbcacba

2) Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Москва»?

(буквы не повторяются)

P6 = 6!= 720

3) Сколькими способами можно раскрасить тремя различными красками три каких-либо клетки квадратной сетки 4×4?

Всего 16 клеток, красим 3 различными красками.

4) Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?

P5 = 5!= 1× 2× 3 × 4× 5 = 120

Правило произведения

Начнём с задач:

1) Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных 5?

Решение:

Обозначим трёхзначное число abc.

Так как на первом месте не может стоять c,

то a ∈{1,2,3,…9}; b ∈{0,1,2,…9};

Т.к. abc кратно 5, то c ∈{0;6}

На первое место выбираем одну из 9 цифр, на второе из 10. Каждому выбору a соответствует 10 выборов b, поэтому ab можно выбрать 9×10 способами. Каждому выбору ab соответствует 2 выбора c, поэтому abc можно выбрать 9×10×2=180 способами.

2) Сколькими способами можно разложить 6 монет по трём карманам?

Решение:

Множество карманов обозначим {k1,k2,k3}. Для каждой монеты из 6

имеющихся нужно осуществить выборки одного из трёх карманов.

Всего способов 3×3×3×3×3×3=36=729

Правило

Если имеем m множеств

{a1,a2,...an}, {b1,b2,...bn2}, {c1,c2,...cnm}

Составляем всевозможные m-элементные выборки, беря по одному элементу из каждого множества. Тогда количество таких выборок находится по правилу произведения: n×n2×…×nm.

3) В магазине «Всё для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца.

Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение:

Выбираем одну из 5 чашек, к ней подбираем одно из трёх блюдец.

Число комплектов 5×3=15.

4) Там же есть ещё 4 вида ложек. Сколькими способами можно купить

Чашку с блюдцем и ложку?

Решение:

Аналогично к комплекту чашки с блюдцем добавим одну из четырёхложек. Всего 5×3×4=60 способов.

Сочетания

Если выборки составляются без учета порядка, а учитывается только состав выборки, то такие выборки называются сочетаниями.

Определение.

Выборки, содержащие m элементов из n данных и отличающиеся только

составом (без учета порядка) называются сочетаниями из n элементов поk

элементов. Их количество

Задачи.

1. Составить все сочетания из элементов множества {a,b,c} по 2

Решение: {a,b};{a,c};{b,c} - их 3

2. Для 5 сотрудников имеются три путевки: в Крым, на Алтай, на Кавказ. Сколькими способами их можно распределить?

Решение: Т.к. маршруты различны, то выборки из 5 по 3, отличаются и

составом и порядком. Значит это размещения.

= 5∙ 4 ∙ 3 = 60

3. Для 5 сотрудников имеются три путевки на Кавказ. Сколькими способами их можно распределить?

Решение:

Все три маршрута одинаковы – на Кавказ. Внутри выборки порядок роли не играет, только состав. Значит, имеем сочетания.

= (5 ∙4∙ 3) : (1∙ 2 ∙3) = 60 : 6 =10.

6. Из 29 учащихся нашего класса нужно выделить 7 человек для уборки

территории? Сколько способов выбора?

Решение:

III этап. Фронтальная работа с классом.

Решение задач с выбором ответа.

1. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-хместной каюте?

( 24; 4; 16 )

2. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько было всего рукопожатий?

( 4; 6; 8 )

3. Сколько бригад по 3 человек в каждой можно составить из 7 человек для отправки на особое задание?

( 210; 35; 24)

4. Определить число диагоналей 5-тиугольника.

( 5; 10; 20 )

5. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам олимпиады, если число команд 15?

( 9; 210; 105)

6. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?

( 3; 6; 9)

7. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? (1; 3; 6)

IV этап. Выводы. Самостоятельная работа. Д/З.

Проверочная работа

1 вариант

1. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Ответы.

1 вариант 2 вариант

Список литературы:

1. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. Комбинаторика. М., 2006.
2. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
3. И.И.Ежов, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Элементы комбинаторики. М., 1977.
4.Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский ГПИ,1999г.
государственный педагогический институт
5. Разработки уроков для учащихся 5-6 классов из опыта работы учителя математики Каменецкой Л.М.

6. Олимпиадные задания конкурса "Кенгуру".

7. «Введение в комбинаторику», Колотова И.В., г. Саратов.