Конспект урока «Правильные многоугольники» по геометрии

Открытый урок

по геометрии

Тема: «Правильные многоугольники»

Провела: учитель математики

Боброва Ю.А.

Тема: «Правильные многоугольники».

И чем труднее доказательство, тем больше

будет удовольствия тому, кто это доказательство найдет.

Рене Декарт.

Цель: обобщить изученный по теме материал; формировать умения применять математические знания к решению практических задач; развивать познавательную активность, творческие способности; воспитывать интерес к предмету.

Ход урока.

1. Организационный момент.

На данном этапе учащиеся формулируют тему и цели урока.

Вопрос: Какая фигура на рисунке лишняя? Почему? 

Сформулируйте тему урока.

Перед тем как перейти к определению многоугольника, вспомним, что такое ломанная?

Ломаной А₁А₂А₃ … А_n называется фигура, состоящая из точек А₁, А₂, А₃, …, А_n и соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, А_n-1 А_n.

Какие элементы ломанной знаем?

• А₁А₂А₃А₄А₅А₆-ломаная.

• Точки А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆- вершины ломаной.

• Отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅, А₅А₆, - звенья ломаной.

Какая ломанная называется многоугольником?

Определение: Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Рассмотрим понятие выпуклого многоугольника. 

Вопрос: Какой из многоугольников на слайде является выпуклым?

Определение: Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Вопрос: Достаточно ли провести одну прямую, содержащую сторону многоугольника, чтобы определить является многоугольник выпуклым или нет? А две? 

Приведите примеры известных выпуклых многоугольников.

(Звучит музыка из кинофильма «Приключения Шерлока Холмса».В класс входят Холмс и Ватсон).

Холмс. Здравствуйте, дорогие друзья. Мы только что с Бейкерстрит. Отправились мы с доктором Ватсоном в путь для того, чтобы разгадать дело о похищении персидского шаха.

Ватсон. Но случайно узнали, что ученики 9 класса любят заниматься математикой. Вот и решили с Холмсом заглянуть к вам, поучиться решению сложных задач.

Холмс. Да, Ватсон, я вижу, что вы на время решили забыть о медицине и заняться геометрией.

Ватсон. Но как?..

Холмс. У вас из кармана выглядывает листочек с чертежами. Сразу видно, что вы потратили немало чернил, пытаясь решить хотя бы одну из задач.

Ватсон. Однако, с чего вы взяли, Холмс, что я не решил ни одной задачи? Правда, так оно и есть…

Холмс. Не обижайтесь, дорогой Ватсон. Я, пожалуй, могу рассказать захватывающую историю о том, как с помощью разных методов можно решить любую задачу. Но, думаю, об этом вам расскажут эти юные леди и джентльмены.

Ватсон. А самую изобретательную, быструю и наблюдательную команду мы возьмем себе в помощники.

2. Решение задач.

Задача 1.

Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 36см. Чему равна площадь квадрата вписанного в эту окружность?

Задача 2.

Холмс. Один джентльмен, увлекающийся математикой, решил разбить клумбу в парке отдыха. Клумба имеет вид правильного шестиугольника без правильного треугольника, вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника. Сторона шестиугольника 6 метров. Вычислите площадь этой клумбы.

Ватсон. Холмс, а зачем этому умному джентльмену знать площадь клумбы?

Холмс. Ватсон, это же элементарно. Ему надо вычислить плату за вскапывание клумбы. За вскапывание 1 кв. м земли надо платить 1,5 фунта стерлингов.

Ватсон. Холмс, эту задачу я хочу решить сам.

Холмс. Друг мой, берегите свое здоровье! Лучше почитайте газету, а с задачей справятся эти юные леди и джентльмены.

Задача 3.

Ватсон отмахивается от пчел

Холмс. Ватсон, что с вами? Пчела? осторожно, она может и ужалить!

Видео

Ватсон. Холмс, меня очень давно мучает этот вопрос.

Холмс. Думаю, что леди и джентльмены помогут нам это понять. Чтобы ответить на этот вопрос надо сравнить периметры разных многоугольников имеющих одинаковую площадь.

Ватсон Из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений. Так, как в этом случае сумма углов, сходящихся в одной вершине равна 360. Поэтому пчелы должны выбрать одну из этих фигур. Сравним периметры этих фигур, если они имеют одинаковую площадь.

Холмс. Ватсон, эти юные леди и джентльмены дадут вам полный ответ.

Имеем

,

, ; ;

S₄ = a²; ; ;

; ; ;

P₃: P₄ : P_{6 =.}

Ватсон. Итак, пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади. Строя шестиугольные ячейки, пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Холмс. Ватсон, сейчас мы проверим, насколько хорошо учащиеся знают свойства многоугольников.

Участники каждой команды получают 4 конверта  с надписями  «Треугольник», «Квадрат», «Шестиугольник»,  «Для всех многоугольников» и разрезанные карточки со свойствами, которые нужно распределить по конвертам.

• каждый его внутренний угол равен 60°

• каждый его внутренний угол равен 90°

• каждый его внутренний угол равен 120°;

• каждый его внешний угол равен 120°

• каждый его внешний угол равен 90°

• каждый его внешний угол равен 60°;

• радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности;

• каждая сторона равна радиусу описанной окружности;

• каждая сторона в два раза больше радиуса вписанной окружности;

• из каждой вершины многоугольника можно  провести две диагонали;

• из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой;

• центральный угол равен 60°, 90°,120°;

• центральный угол равен 90°

• центральный угол равен 120°;

• все его диагонали равны;

• середины правильного 12-угольника соединили через одну;

•  сумма внешних углов равна 360°;

• сумма его внутренних углов равна сумме его внешних углов;

• центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

• каждый его внутренний угол равен центральному углу;

• вершины правильного 8-угольника соединили отрезками через одну;

• равны все внутренние углы многоугольника;

•  многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны;

• многоугольник вписан в окружность и все его углы равны.

Проверяйте:

«Треугольник»: внутренний угол равен 60°; внешний угол равен 120°; R = 2r; центральный угол равен 120°.
«Квадрат»: внутренний угол равен 90°; внешний угол равен 90°; a = 2R; центральный угол равен 90°; все диагонали равны; сумма внутренних углов равна сумме внешних углов; вершины правильного восьмиугольника соединили через одну.
«Правильный шестиугольник»: внутренний угол равен 120°; внешний угол равен 60°; R = a из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой; центральный угол равен 60°; вершины правильного двенадцати угольника соединили через одну.
«Для всех правильных многоугольников»: центры вписанной и описанной окружностей совпадают;  сумма внешних углов 360°; каждый внутренний угол равен центральному; равны все внутренние углы многоугольника; многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны; многоугольник вписан в окружность и все его углы равны.

Холмс. Видите, Ватсон, чтобы научиться решать задачи, надо последовательно и логически мыслить. Это необходимо в математике, как и в криминалистике. Самый главный метод в решении – «метод цели»; надо все время помнить, что осталось сделать для достижения цели. Ну, и еще некоторые мелочи…- опыт и интуиция.

Ватсон (держит в руках газету). Ого, послушайте, Холмс: «Вчера неизвестные злоумышленники украли приз – золотой лист Мёбиуса».

Холмс. Поспешим! Поймать этих негодяев - для нас дело принципа! Прощайте, леди и джентльмены. Мы с доктором Ватсоном еще навестим вас.