- Геометрическое применение производной

Конспект урока «Геометрическое применение производной»

Тема «Геометрическое применение производной»

Производная функции y = y(x) при данном значении аргумента х = х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 и ординатой y0 = y(x0)

y'(x0) = tg (1)


Уравнение касательной к графику функции y = y(x) в точке М00; у0) имеет вид: у – у0 = y'(x0)(х – х0) (2)

Если y(x) имеет при х = х0 бесконечную производную, то уравнение касательной таково: х = х0

Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания М00; у0) перпендикулярно касательной, записывается в виде

у – у0 =(х – х0) (3)

Примеры.

1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе

у = 2х2-6х+3 в точке М0(1; -1)

Решение: Найдем производную функции у = 2х2-6х+3 при х =1. Имеем

у' = 4х – 6, откуда у'(1) = -2.

Воспользовавшись уравнением касательной к графику функции, получим искомое уравнение: у – (-1) = -2(х - 1) или 2х + у – 1= 0.

Уравнение нормали получим, используя уравнение (3)

у + 1 = (х – 1), или х – 2у – 3 = 0



2. Составить уравнения касательной и нормали (решить самостоятельно):



а) к гиперболе у = в точке А(2;3)



б) к кривой у = х3 + 4х2 – 1 в точке с абсциссой х0 = -1



в) к параболе у = х2 – 4х + 4 в точках, ординаты которых равны единице.

Тема «Механические приложения производной»

Производная от функции y = y(x), вычисленная при значении аргумента х = х0, представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной х в точке х = х0.

В частности, если зависимость между пройденным путем s и временем t при прямолинейном движении выражается формулой s = s(t), то скорость движения в любой момент времени t есть (т. е. скорость изменения скорости) есть

Пример.

1. Точка движется прямолинейно по закону s = (s выражается в метрах, - в секундах). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения.

Решение:

Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:

v(t) = = , откуда v(1) = 4 (м/с)

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени: a(t) = = 2t + 4.

Следовательно, a(1) = 6(м/с2)

Решить самостоятельно следующие задачи:

2. Закон прямолинейного движения точки выражается формулой

s = 1 + (s выражается в метрах, - в секундах). Найти скорость и ускорение движения в момент времени

3. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по закону s = ln(1 + Найти кинетическую энергию тела (0.5m через 2с после начала движения.

4. Точка движется по оси абсцисс по закону x = 0,25(

(х выражается в метрах, - в секундах). В какой момент времени точка остановится?

Здесь представлен конспект к уроку на тему «Геометрическое применение производной», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Геометрия Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функции. Задачи В-8

Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функции. Задачи В-8

Государственное общеобразовательное учреждение. Гимназия №205. Урок по теме. « Производная. Геометрический смысл производной. Применение ...
Решение задач на применение первого признака равенства треугольников

Решение задач на применение первого признака равенства треугольников

Дата проведения 21.10.2014 г. Урок геометрии в 7 классе. Тема: «Решение задач на применение первого признака равенства треугольников». Цели урока:. ...

Информация о конспекте

Ваша оценка: Оцените конспект по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:7 апреля 2016
Категория:Геометрия
Поделись с друзьями:
Скачать конспект