Презентация "Комплексные числа и их свойства" по математике – проект, доклад

Комплексные числа

Автор: Павлов Вадим Студент группы МОБ1-1

Ко́мпле́ксные чи́сла, — расширение множества вещественных , обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочелен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках.

Определения Поле комплексных чисел можно понимать как расширения поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Стандартная модель Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — амнимая единица— На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть − 1. Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно. Матричная модель Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать мнимой единице

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части). Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i. Умножение Деление