Презентация "Неопределённый и определённый интегралы" (11 класс) по математике – проект, доклад

Неопределённый и определённый интегралы

Выполнила ученица 11б класса Лысюк Марина

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №32 «Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

2013 г.

Теорема

Если y = F(x) – первообразная для функции y = f(x) на промежутке Х, то у функции y = f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y = F(x) + С.

Определение

Если функция y = f(x) имеет на промежутке Х первообразную y = F(x), то множество всех первообразных, т. е. множество функций видаy = F(x) + С называют неопределённым интегралом от функции y = f(x)и обозначают ? ? ??

Таблица основных неопределённых интегралов

??= ?+? ? ? ??= ? ?+? ?+? +? (? ≠−?) ?? ? =?? ? +? ??? ?=−??? ?+? ??? ?=??? ?+?

?? ??? ? ? =−??? ?+? ?? ??? ? ? =?? ?+? ? ? ??= ? ? +? ? ? ??= ? ? ?? ? (? >?, ? ≠?)

Правило 1

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций. ? ? +? ? ??= ? ? ??+ ? ? ??

Правило 2

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. ?? ? ??=? ? ? ??

Правило 3

Если ? ? ??=? ? +? , то ? ??+? ??= ?(??+?) ? +?

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

?=?( ? ? )∆ ? ?

? ? =? ? ? ∆ ? ? +? ? ? ∆ ? ? + ..+? ? ? ∆ ? ? + .. +?( ? ? −? )∆ ? ? −?

Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности ( ? ? ): ?= ??? ? → ∞ ? ?

Задача о перемещении точки

По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой V = V(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

? ? =?( ? ? )∆ ? ?

? ? =? ? ? ∆ ? ? +? ? ? ∆ ? ? + .. +?( ? ? −? )∆ ? ? −?

?= ??? ? → ∞ ? ?

Определённый интеграл

В случае непрерывной или в случае кусочно-непрерывной функции y = f(x)предел Snсуществует и называется определённым интегралом от функции y = f(x)по отрезку [a; b]. ? ? ? ? ??

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y = f(x)непрерывна на отрезке [a; b], то справедлива формула ? ? ? ? ??=? ? −?(?) , ? ? ? ? ??=? ? где F(x)- первообразная для f(x).

b a

Пример 1

Вычислить −? ? ? ? ?? . Решение. Первообразной для х3служит ? 4 4 . Значит,

Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ?= 3 ? , ?=0, ?=8.

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = bи графиками функций y = f(x), y = g(x),непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого xиз отрезка [a; b]выполняется неравенство g(x) ≤ f(x), вычисляется по формуле ?= ? ? ? ? −? ? ??