Презентация "Трёхгранный угол" по математике – проект, доклад

Урок 6 Трехгранный угол

Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .

Основное свойство трехгранного угла.

Доказать:  +  +  ;  +  > ;  +  > .

Доказательство I. Пусть 

Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .

Доказать: 2)  +  > ;  +  > ;  +  > .

Формула трех косинусов

Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула:

2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.

II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: С’А’B’

III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 – ) + (180 – ) +  . Аналогично доказываются и два остальных неравенства.

с’

Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120.

Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны:

два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла.

. Дан трехгранный угол Оabc. Пусть 

Аналог теоремы косинусов

Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO||BO|cos. Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO||BO|cos + 2|AC||BC| = 0 

;

тогда cos = coscos + sinsincos

Заменим:

II. Пусть  > 90;  > 90, тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы  –  и  –  – острые, а плоский угол  и двугранный угол – те же самые.

По I.: cos = cos( – )cos( – ) + sin( – )sin( – )cos

 cos = coscos + sinsincos

III. Пусть  90, тогда рассмотрим луч a’, дополнительный к a, и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором плоские углы  и  –  – острые, третий плоский угол – ( – ), а противолежащий ему двугранный угол – ( – )

По I.: cos( – ) = coscos( – ) + sinsin( – )cos( – )

a’

IV. Пусть  = 90;  = 90, тогда  =

и равенство, очевидно, выполняется. Если же только один из этих углов, например,  = 90, то доказанная формула имеет вид: cos = sincos

 cos = cos(90 – )cos

Следствие. Если

= 90, то cos = coscos – аналог теоремы Пифагора!