Презентация "§ 1. Степенные ряды" – проект, доклад

§ 1. Степенные ряды

Определение (степенного ряда). Функциональный ряд вида называется степенным рядом с базисной точкой z0. При этом {an} – последовательность констант, z – переменная, z0 – постоянная, z - z0 = х , то Определение. Функциональный ряд называется степенным с базисной точкой в нуле.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд , где an – действительные числа, x – действительная переменная, таков что: 1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится для x < x0; 2) расходится в точке x0, то он расходится для x > x0; Доказательство. (Самостоятельно)

Определение (радиуса сходимости степенного ряда). Если для ряда существует действительное число R: 0  R  +, такое что x < R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда. Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимости степенного ряда , то интервалом сходимости данного степенного ряда называется множество точек –R < x < R.

Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда). Для каждого степенного ряда существует единственный радиус сходимости R, который можно найти по одной из формул: или Без доказательства. Замечание 1. Если имеется два степенных ряда и , то радиусы сходимости этих рядов одинаковы, несмотря на то, что базисные точки – разные.

Замечание 2. Если радиус сходимости ряда , то интервал сходимости – это множество точек –R < x < R. Для ряда радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R, или x0 – R < x < R + x0. Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на концах интервала сходимости, т.е. при x =  R, то после исследования степенного ряда на сходимость в этих точках, концы интервала сходимости присоединяют к интервалу сходимости, если степенной ряд сходится в этих точках.

Свойства степенных рядов. Теорема 1. (о равномерной сходимости степенных рядов). Каждый степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [-r ; r], содержащемся внутри интервала сходимости (-R ; R). Доказательство. (Самостоятельно) Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке [-r ; r], содержащемся в (-R ; R). Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема 3. (о радиусах сходимости степенных рядов). Если степенной ряд имеет радиус сходимости R, то ряды и имеют тот же радиус сходимости R. Без доказательства.

Теорема 4. (о дифференцировании и интегрировании степенных рядов). Всякий степенной ряд на произвольном отрезке [-r ; r]  (-R ; R) можно: 1) Почленно дифференцировать. При этом: 2) Почленно интегрировать. При этом: Без доказательства.

Пусть функция f (x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки x0 и самой точке. Степенной ряд вида (1) сопоставленный функции f (x) называется рядом Тейлора.

§ 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.

Если x0  0, то получаем степенной ряд вида: (2) называемый рядом Маклорена, сопоставленный функции f (x) в точке 0. Для радов Тейлора возможны три случая: 1) Ряд (1) расходится в точке x0. 2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но

3) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с суммой ряда Тейлора: Только в третьем случае говорят, что функция f (x) разложима в ряд Тейлора (1). Во всех остальных случаях функции f (x) сопоставлен ряд Тейлора:

Теорема (необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Пусть функция f (x) определена и бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности. Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора  0 при n  , т.е. rn(x)  0 при n  . Доказательство. (Самостоятельно) Замечание: Не путать остаточный член формулы Тейлора rn(x) с остатком ряда Rn(x), т.к. это ряд:

Теорема (достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности, такова что: 1) бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности; 2) все производные f (x) ограничены в совокупности в окрестности точки x0, т.е.  M > 0 для  x  окрестности точки x0, f (n)(x) < M, n = 0,1,2,… . Тогда f (x) разложима в ряд Тейлора в этой точке. Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема (о связи степенных рядов и рядов Тейлора). Всякий степенной ряд вида на  [a, b]  (x0 – R; R + x0) является рядом Тейлора для своей суммы. Доказательство. (Самостоятельно)

§ 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.

Теорема (о единственности разложения в степенной ряд). Если функция f (x) разложима в степенной ряд , то это разложение единственно на интервале сходимости. Доказательство. Пусть функция f (x) имеет два разложения: По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы на интервале сходимости, т.е.

Но отсюда следует, что an = bn, значит разложение единственно. Ч.т.д. Находят все производные функции в точке x0. f (n)(x), n = 0,1,2,… 2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора:

§ 4. Разложение функций в ряд Тейлора.

3. Находят интервал сходимости полученного ряда 4. На интервале сходимости исследуют саму функцию и все ее производные на ограниченность в совокупности. Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.

Разложение функции в точке x0 на практике производится по известному разложению в ряд Маклорена используют замену переменных. Рассмотрим разложение функции ех в ряд Маклорена. ех определена  х  R. (ех)(n) = ех, n = 0,1,2,… f (0) = e0 = 1 Радиус сходимости степенного ряда:

Таким образом, степенной ряд сходится при  x. Пусть h – некоторое число > 0. Следовательно, на любом отрезке [-h ; h]  множеству действи-тельных чисел  (ех)(h) < eh  n, n = 0,1,2,… Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит:  х  R.

Пусть нужно функцию ех разложить в ряд по степеням (х – 2), т.е. в точке x0 = 2. Рассмотрим: ех = ех-2+2 = е2ех-2. Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0. Разложение в ряд Маклорена имеет вид: - сходится  u  R. Тогда: - сходится  х  R. На практике используют разложения:

Таблица разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Область сходимости (для всех): - < x < 

Область сходимости (для всех): x < 1.

1. Нахождение пределов последовательностей, функций. 2. Вычисление производных. 3. Приближенные вычисления. Самостоятельно.

§ 5. Приложения степенных рядов.

Ряды Фурье. § 1. Ортогональность функции на отрезке. Ортогональность тригонометрической системы sinmx, cosmx, m = 1,2,… Определение (ортогональности). Система функций {fn(x)}, n = 1,2,… интегрируемая на [a,b] называется ортогональной на [a,b], если:

Тригонометрическая система sinmx, cosmx, m = 1,2,… является ортогональной на [- ; ] (доказать самостоятельно). § 2. Понятие ряда Фурье. Связь тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f (x) такова, что: 1) определена  x  R и 2 - периодична; 2) на периоде имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (с конечным скачком); 3) в точках разрыва первого рода значения функции равны полусуммам односторонних

пределов в этих точках, т.е. если xi – точка разрыва первого рода, то: Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом. Среди тригонометрических рядов важное значение имеют ряды Фурье.

Определение (ряда Фурье). Тригонометрический ряд называется рядом Фурье, сопоставленным функции f (x), при этом пишут, что: если коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:

Коэффициенты a0, an, bn называются коэффициентами Фурье. Для ряда Фурье могут быть следующие возможности: расходится для  x  R; 2) сходится для  x  R, но не к функции f (x); 3) сходится для  x  R, причем к функции f (x).

В третьем случае говорят, что функция f (x) разлагается в ряд Фурье и пишут: Теорема (о связи тригонометрических рядов и рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд сопоставленный функции f (x), равномерно сходящийся для  x  R является рядом Фурье этой функции. Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема (о единственности разложения функций в ряд Фурье). Если функция f (x) раскладывается в ряд Фурье, то это разложение единственно. Без доказательства. Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f (x) такова что: 1) разложима в ряд Фурье; 2) непрерывна для  x  R и 2 периодична 3) все производные этой функции до k-того порядка включительно ограничены, т.е. f (m)(x) < M, m = 0,1,2,…, k, x  R. Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива

следующая оценка: Без доказательства.