- § 1. Степенные ряды

Презентация "§ 1. Степенные ряды" – проект, доклад

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16
Слайд 17
Слайд 18
Слайд 19
Слайд 20
Слайд 21
Слайд 22
Слайд 23
Слайд 24
Слайд 25
Слайд 26
Слайд 27
Слайд 28
Слайд 29
Слайд 30
Слайд 31

Презентацию на тему "§ 1. Степенные ряды" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Разные. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 31 слайд(ов).

Слайды презентации

§ 1. Степенные ряды. Определение (степенного ряда). Функциональный ряд вида называется степенным рядом с базисной точкой z0. При этом {an} – последовательность констант, z – переменная, z0 – постоянная, z - z0 = х , то Определение. Функциональный ряд называется степенным с базисной точкой в нуле.
Слайд 1

§ 1. Степенные ряды

Определение (степенного ряда). Функциональный ряд вида называется степенным рядом с базисной точкой z0. При этом {an} – последовательность констант, z – переменная, z0 – постоянная, z - z0 = х , то Определение. Функциональный ряд называется степенным с базисной точкой в нуле.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд , где an – действительные числа, x – действительная переменная, таков что: 1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится для x < x0; 2) расходится в точке x0, то он расходится для x > x0; Доказательство. (Самостоятельно)
Слайд 2

Теорема (Абеля). Если степенной ряд , где an – действительные числа, x – действительная переменная, таков что: 1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится для x < x0; 2) расходится в точке x0, то он расходится для x > x0; Доказательство. (Самостоятельно)

Определение (радиуса сходимости степенного ряда). Если для ряда существует действительное число R: 0  R  +, такое что x < R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда. Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимос
Слайд 3

Определение (радиуса сходимости степенного ряда). Если для ряда существует действительное число R: 0  R  +, такое что x < R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда. Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимости степенного ряда , то интервалом сходимости данного степенного ряда называется множество точек –R < x < R.

Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда). Для каждого степенного ряда существует единственный радиус сходимости R, который можно найти по одной из формул: или Без доказательства. Замечание 1. Если имеется два степенных ряда и , то радиусы сходимости этих рядов одинаковы, несмотря на то, что ба
Слайд 4

Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда). Для каждого степенного ряда существует единственный радиус сходимости R, который можно найти по одной из формул: или Без доказательства. Замечание 1. Если имеется два степенных ряда и , то радиусы сходимости этих рядов одинаковы, несмотря на то, что базисные точки – разные.

Замечание 2. Если радиус сходимости ряда , то интервал сходимости – это множество точек –R < x < R. Для ряда радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R, или x0 – R < x < R + x0. Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на кон
Слайд 5

Замечание 2. Если радиус сходимости ряда , то интервал сходимости – это множество точек –R < x < R. Для ряда радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R, или x0 – R < x < R + x0. Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на концах интервала сходимости, т.е. при x =  R, то после исследования степенного ряда на сходимость в этих точках, концы интервала сходимости присоединяют к интервалу сходимости, если степенной ряд сходится в этих точках.

Свойства степенных рядов. Теорема 1. (о равномерной сходимости степенных рядов). Каждый степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [-r ; r], содержащемся внутри интервала сходимости (-R ; R). Доказательство. (Самостоятельно) Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенног
Слайд 6

Свойства степенных рядов. Теорема 1. (о равномерной сходимости степенных рядов). Каждый степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [-r ; r], содержащемся внутри интервала сходимости (-R ; R). Доказательство. (Самостоятельно) Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке [-r ; r], содержащемся в (-R ; R). Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема 3. (о радиусах сходимости степенных рядов). Если степенной ряд имеет радиус сходимости R, то ряды и имеют тот же радиус сходимости R. Без доказательства.
Слайд 7

Теорема 3. (о радиусах сходимости степенных рядов). Если степенной ряд имеет радиус сходимости R, то ряды и имеют тот же радиус сходимости R. Без доказательства.

Теорема 4. (о дифференцировании и интегрировании степенных рядов). Всякий степенной ряд на произвольном отрезке [-r ; r]  (-R ; R) можно: 1) Почленно дифференцировать. При этом: 2) Почленно интегрировать. При этом: Без доказательства.
Слайд 8

Теорема 4. (о дифференцировании и интегрировании степенных рядов). Всякий степенной ряд на произвольном отрезке [-r ; r]  (-R ; R) можно: 1) Почленно дифференцировать. При этом: 2) Почленно интегрировать. При этом: Без доказательства.

Пусть функция f (x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки x0 и самой точке. Степенной ряд вида (1) сопоставленный функции f (x) называется рядом Тейлора. § 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.
Слайд 9

Пусть функция f (x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки x0 и самой точке. Степенной ряд вида (1) сопоставленный функции f (x) называется рядом Тейлора.

§ 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.

Если x0  0, то получаем степенной ряд вида: (2) называемый рядом Маклорена, сопоставленный функции f (x) в точке 0. Для радов Тейлора возможны три случая: 1) Ряд (1) расходится в точке x0. 2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но
Слайд 10

Если x0  0, то получаем степенной ряд вида: (2) называемый рядом Маклорена, сопоставленный функции f (x) в точке 0. Для радов Тейлора возможны три случая: 1) Ряд (1) расходится в точке x0. 2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но

3) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с суммой ряда Тейлора: Только в третьем случае говорят, что функция f (x) разложима в ряд Тейлора (1). Во всех остальных случаях функции f (x) сопоставлен ряд Тейлора:
Слайд 11

3) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с суммой ряда Тейлора: Только в третьем случае говорят, что функция f (x) разложима в ряд Тейлора (1). Во всех остальных случаях функции f (x) сопоставлен ряд Тейлора:

Теорема (необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Пусть функция f (x) определена и бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности. Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора  0
Слайд 12

Теорема (необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Пусть функция f (x) определена и бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности. Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора  0 при n  , т.е. rn(x)  0 при n  . Доказательство. (Самостоятельно) Замечание: Не путать остаточный член формулы Тейлора rn(x) с остатком ряда Rn(x), т.к. это ряд:

Теорема (достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности, такова что: 1) бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности; 2) все производные f (x) ограничены в совокупности в окрестности точки x0, т.е.  M > 0 для  x 
Слайд 13

Теорема (достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности, такова что: 1) бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и ее окрестности; 2) все производные f (x) ограничены в совокупности в окрестности точки x0, т.е.  M > 0 для  x  окрестности точки x0, f (n)(x) < M, n = 0,1,2,… . Тогда f (x) разложима в ряд Тейлора в этой точке. Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема (о связи степенных рядов и рядов Тейлора). Всякий степенной ряд вида на  [a, b]  (x0 – R; R + x0) является рядом Тейлора для своей суммы. Доказательство. (Самостоятельно). § 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.
Слайд 14

Теорема (о связи степенных рядов и рядов Тейлора). Всякий степенной ряд вида на  [a, b]  (x0 – R; R + x0) является рядом Тейлора для своей суммы. Доказательство. (Самостоятельно)

§ 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.

Теорема (о единственности разложения в степенной ряд). Если функция f (x) разложима в степенной ряд , то это разложение единственно на интервале сходимости. Доказательство. Пусть функция f (x) имеет два разложения: По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейл
Слайд 15

Теорема (о единственности разложения в степенной ряд). Если функция f (x) разложима в степенной ряд , то это разложение единственно на интервале сходимости. Доказательство. Пусть функция f (x) имеет два разложения: По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы на интервале сходимости, т.е.

Но отсюда следует, что an = bn, значит разложение единственно. Ч.т.д. Находят все производные функции в точке x0. f (n)(x), n = 0,1,2,… 2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора: § 4. Разложение функций в ряд Тейлора.
Слайд 16

Но отсюда следует, что an = bn, значит разложение единственно. Ч.т.д. Находят все производные функции в точке x0. f (n)(x), n = 0,1,2,… 2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора:

§ 4. Разложение функций в ряд Тейлора.

3. Находят интервал сходимости полученного ряда 4. На интервале сходимости исследуют саму функцию и все ее производные на ограниченность в совокупности. Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.
Слайд 17

3. Находят интервал сходимости полученного ряда 4. На интервале сходимости исследуют саму функцию и все ее производные на ограниченность в совокупности. Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.

Разложение функции в точке x0 на практике производится по известному разложению в ряд Маклорена используют замену переменных. Рассмотрим разложение функции ех в ряд Маклорена. ех определена  х  R. (ех)(n) = ех, n = 0,1,2,… f (0) = e0 = 1 Радиус сходимости степенного ряда:
Слайд 18

Разложение функции в точке x0 на практике производится по известному разложению в ряд Маклорена используют замену переменных. Рассмотрим разложение функции ех в ряд Маклорена. ех определена  х  R. (ех)(n) = ех, n = 0,1,2,… f (0) = e0 = 1 Радиус сходимости степенного ряда:

Таким образом, степенной ряд сходится при  x. Пусть h – некоторое число > 0. Следовательно, на любом отрезке [-h ; h]  множеству действи-тельных чисел  (ех)(h) < eh  n, n = 0,1,2,… Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит:  х  R.
Слайд 19

Таким образом, степенной ряд сходится при  x. Пусть h – некоторое число > 0. Следовательно, на любом отрезке [-h ; h]  множеству действи-тельных чисел  (ех)(h) < eh  n, n = 0,1,2,… Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит:  х  R.

Пусть нужно функцию ех разложить в ряд по степеням (х – 2), т.е. в точке x0 = 2. Рассмотрим: ех = ех-2+2 = е2ех-2. Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0. Разложение в ряд Маклорена имеет вид: - сходится  u  R. Тогда: - сходится  х  R. На практике используют разложения:
Слайд 20

Пусть нужно функцию ех разложить в ряд по степеням (х – 2), т.е. в точке x0 = 2. Рассмотрим: ех = ех-2+2 = е2ех-2. Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0. Разложение в ряд Маклорена имеет вид: - сходится  u  R. Тогда: - сходится  х  R. На практике используют разложения:

Таблица разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Область сходимости (для всех): - < x < 
Слайд 21

Таблица разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Область сходимости (для всех): - < x < 

Область сходимости (для всех): x < 1.
Слайд 22

Область сходимости (для всех): x < 1.

1. Нахождение пределов последовательностей, функций. 2. Вычисление производных. 3. Приближенные вычисления. Самостоятельно. § 5. Приложения степенных рядов.
Слайд 23

1. Нахождение пределов последовательностей, функций. 2. Вычисление производных. 3. Приближенные вычисления. Самостоятельно.

§ 5. Приложения степенных рядов.

Ряды Фурье. § 1. Ортогональность функции на отрезке. Ортогональность тригонометрической системы sinmx, cosmx, m = 1,2,… Определение (ортогональности). Система функций {fn(x)}, n = 1,2,… интегрируемая на [a,b] называется ортогональной на [a,b], если:
Слайд 24

Ряды Фурье. § 1. Ортогональность функции на отрезке. Ортогональность тригонометрической системы sinmx, cosmx, m = 1,2,… Определение (ортогональности). Система функций {fn(x)}, n = 1,2,… интегрируемая на [a,b] называется ортогональной на [a,b], если:

Тригонометрическая система sinmx, cosmx, m = 1,2,… является ортогональной на [- ; ] (доказать самостоятельно). § 2. Понятие ряда Фурье. Связь тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f (x) такова
Слайд 25

Тригонометрическая система sinmx, cosmx, m = 1,2,… является ортогональной на [- ; ] (доказать самостоятельно). § 2. Понятие ряда Фурье. Связь тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f (x) такова, что: 1) определена  x  R и 2 - периодична; 2) на периоде имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (с конечным скачком); 3) в точках разрыва первого рода значения функции равны полусуммам односторонних

пределов в этих точках, т.е. если xi – точка разрыва первого рода, то: Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом. Среди тригонометрических рядов важное значение имеют ряды Фурье.
Слайд 26

пределов в этих точках, т.е. если xi – точка разрыва первого рода, то: Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом. Среди тригонометрических рядов важное значение имеют ряды Фурье.

Определение (ряда Фурье). Тригонометрический ряд называется рядом Фурье, сопоставленным функции f (x), при этом пишут, что: если коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:
Слайд 27

Определение (ряда Фурье). Тригонометрический ряд называется рядом Фурье, сопоставленным функции f (x), при этом пишут, что: если коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:

Коэффициенты a0, an, bn называются коэффициентами Фурье. Для ряда Фурье могут быть следующие возможности: расходится для  x  R; 2) сходится для  x  R, но не к функции f (x); 3) сходится для  x  R, причем к функции f (x).
Слайд 28

Коэффициенты a0, an, bn называются коэффициентами Фурье. Для ряда Фурье могут быть следующие возможности: расходится для  x  R; 2) сходится для  x  R, но не к функции f (x); 3) сходится для  x  R, причем к функции f (x).

В третьем случае говорят, что функция f (x) разлагается в ряд Фурье и пишут: Теорема (о связи тригонометрических рядов и рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд сопоставленный функции f (x), равномерно сходящийся для  x  R является рядом Фурье этой функции. Доказательство. (Самостоятельно)
Слайд 29

В третьем случае говорят, что функция f (x) разлагается в ряд Фурье и пишут: Теорема (о связи тригонометрических рядов и рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд сопоставленный функции f (x), равномерно сходящийся для  x  R является рядом Фурье этой функции. Доказательство. (Самостоятельно)

Теорема (о единственности разложения функций в ряд Фурье). Если функция f (x) раскладывается в ряд Фурье, то это разложение единственно. Без доказательства. Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f (x) такова что: 1) разложима в ряд Фурье; 2) непрерывна для  x  R и 2 периодичн
Слайд 30

Теорема (о единственности разложения функций в ряд Фурье). Если функция f (x) раскладывается в ряд Фурье, то это разложение единственно. Без доказательства. Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f (x) такова что: 1) разложима в ряд Фурье; 2) непрерывна для  x  R и 2 периодична 3) все производные этой функции до k-того порядка включительно ограничены, т.е. f (m)(x) < M, m = 0,1,2,…, k, x  R. Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива

следующая оценка: Без доказательства.
Слайд 31

следующая оценка: Без доказательства.

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

  1. Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
  2. Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
  3. Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
  4. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
  5. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
  6. Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
  7. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
  8. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.