Презентация "Матан" по математике – проект, доклад

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

МНОЖЕСТВО – совокупность объектов любой природы, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, составляющие множество, называются элементами этого множества. Обозначается: А – множество, а – элемент множества А

ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВ: Множество студентов ВУЗа

Множество рыб в аквариуме

Множество судов на причале

Пусть Х и У – два множества. Между ними возможны следующие отношения:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым 0.

1

Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают.

Х=У

2

Если все элементы множества Х содержатся в У, то Х является подмножеством У.

3

ОБЪЕДИНЕНИЕМ двух множеств Х и У называется множество Z, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.

объединение множеств

4

ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ двух множеств Х и У называется множество Z, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств.

пересечение множеств

5

РАЗНОСТЬЮ двух множеств Х и У называется множество Е, состоящее из всех элементов множества Х, которые не принадлежат множеству У.

разность множеств

ПРИМЕР. Даны множества Х={2;4;6;8} Y={2;4;5;9} Найти пересечение, объединение и разность этих множеств.

РЕШЕНИЕ:

ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

Если каждому элементу х множества Х ставится в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция

Свойства функций

Функция y=f(x) называется четной, если для любого х

1. Четность

Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого х

Если оба эти условия не выполняются, то функция называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

2. Монотонность

- функция возрастает

- функция убывает

Функция y=f(x) называется периодичной с периодом Т, не равным нулю, если для любого х выполняется равенство:

3. Периодичность

Например:

-периодичная с периодом, равным 2П, т.к. для любого х

Функция x=φ(y) определенная на множестве У с областью значений Х, называется обратной к функции y=f(x) .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число an , то говорят, что задана числовая последовательность

Числа a1,a2…an называются членами последовательности, а число an называется общим членом или n-ым членом данной последовательности.

Изобразим члены последовательности точками на числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к нулю.

Последовательность {an} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству:

Последовательность {an} называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу:

Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N, что при всех n>N, выполняется неравенство:

ПРИМЕР. Дана последовательность

Показать, что предел этой последовательности равен 1.

РЕШЕНИЕ: Пусть ε=0.1 Тогда неравенство

примет вид:

Если ε=0.01, то неравенство выполняется при

Для любого ε >0, неравенство выполняется при

Т.е. для любого ε >0 существует номер

Что для всех n>N, выполняется неравенство:

Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Для этого изобразим члены последовательности (3) точками на числовой оси.

Неравенство

равносильно двойному неравенству

которое соответствует попаданию членов последовательности в ε – окрестность точки А.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число S, что при всех |x|>S, выполняется неравенство:

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство

что соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х→x0, (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число δ, что при всех |x-x0|> δ, выполняется неравенство: