Презентация "ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ" по математике – проект, доклад

Определенный интеграл

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых , и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией

a b

Теорема о существовании определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем

Если функция непрерывна на то существует такая точка что

Вычисление определенного интеграла

Пример Вычислить .

Вычисление интеграла

Несобственный интеграл

. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) . Этот несобственный интеграл расходится.

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

Площадь фигуры в декартовых координатах.

В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из уравнений .

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле

α β

Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Продолжение Получим

Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса

у о х

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :

Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Длина дуги в декартовых координатах

Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги . Если кривая задана уравнением , то , где c, d–ординаты начала и конца дуги

Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .

Вычислить длину дуги кривой от точки до . , тогда

Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .

Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле .

Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и

Решение Тогда