Конспект урока «Вписанные и описанные четырехугольники» по математике для 9 класса

Сивак Светлана Олеговна

учитель математики

Теорема Птолемея

(сценарий урока в 9 физико-математическом классе)

Данный урок рассчитан на проведение в 9 классе с расширенным изучением математики в теме "Вписанные и описанные четырехугольники", после изучения основных свойств описанной и вписанной окружностей.

Цели и задачи урока.

1. Образовательные:

Продолжить знакомство учащихся со свойствами вписанных четырехугольников, доказать теорему Птолемея, рассмотреть решения задач на свойства вписанных в четырехугольники и описанных около четырехугольников окружностей.

Усилить межпредметные связи.

2.Развивающие:

Развивать геометрические представления учащихся.

Развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.

Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

Методы ведения урока:

1 Мини-диалог (устная работа).

2. Беседа-лекция.

3. Работа по готовым чертежам.

4. Работа с задачей.

5. Анализ

Оборудование:

Доска, готовые чертежи, бланки с раздаточным материалом.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение изученного материала, актуализация ранее полученных знаний.

3. Введение нового материала. (Теорема Птолемея)

4. Закрепление изученной теоремы на задачах по готовым чертежам.

5. Постановка домашнего задания.

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Повторение изученного материала, актуализация ранее полученных знаний

На предыдущих уроках мы с вами говорили о том, что в любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Например, мы знаем, что:

Описанная окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны.

Вписанная окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

3. Введение нового материала. (Теорема Птолемея)

Существуют и другие характерные свойства вписанных и описанных четырехугольников. Рассмотрим один из них.

Теорема: Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведения противоположных сторон.

Дано:

Окр. (О, R)

АВСD – вписанный четырехугольник

Доказать:

Доказательство:

1). Дополнительное построение : АВК =5

2). Рассмотрим АВК и ВСD

АВК =5 следует, что

1 =2 (вписанные, опираются на дугу ВС) АВКВСD,

и значит или

3). Рассмотрим СВК и АВD

КВС =АВD следует, что

3 =4 (вписанные, опираются на дугу АВ) СВК АВD

и значит или

Складывая соотношения (*) и (**) получаем:

Данная теорема называется - теорема Птолемея.

(Клавдий Птолемей (127-145 гг нашей эры ), Египет.)

Рассматриваемое свойство вписанных четырехугольников является характеристическим, т.е. верно и обратное утверждение:

Если в четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

(Попытайтесь дома доказать это утверждение).

4. Закрепление изученной теоремы на задачах по готовым чертежам.

Теорема Птолемея значительно облегчает решение многих задач, например,

с использованием этой теоремы можно легко доказать теорему Пифагора.

Давайте вспомним формулировку теоремы Пифагора.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Почему для доказательства этой теоремы можно использовать теорему Птолемея? Какое дополнительное построение для этого надо сделать? (Можно достроить треугольник до прямоугольника и применить теорему Птолемея.)

Решение:

АС=ВD, AB=CD, AD=BC

Задача 2. Доказать, что для равнобедренной трапеции ABCD (АВ=CD) справедливо равенство (Устно, по готовому чертежу)

Можно ли здесь применить теорему Птолемея? Почему?

Дано:

ABCD-трапеция

АВ=CD

Доказать:

Доказательство:

АВ=CD, значит Что и т.д.

Задача 3.На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС взята точка Е, отличная от вершин треугольника. Доказать, что один из отрезков АЕ, ЕВ, ЕС равен сумме двух других.

Дано:

АВС

АВ=ВС=СА

Точка Е лежит на Окр(О;R)

Доказать:

АЕ=ВЕ+ЕС

Доказательство:

По теореме Птолемея , а т.к. АВ=ВС=СА, то , откуда АЕ=ВЕ+ЕС. Что и т.д.

Задача 4.

Дано:

ABCD – трапеция

Окр(О₁,R)- описанная

около трапеции

АСВD

Доказать:

Доказательство.

1 =2=, тогда 4=. По теореме Птолемея ;

, , значит , откуда и . Что и т.д.

5. Домашнее задание.

Задача 1.

Дано:

АВСD – четырехугольник,

вписанный в окружность

1 =2

Найти CD+AD

Решение.

,

т.к. 1 =2 ,то АВ=ВС.

. Имеем 3АВ=

3АВ=, а значит СD+AD=3

Задача 2.

Углы А, В и С треугольника АВС образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Доказать, что для его сторон справедливо равенство .

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Давайте еще раз повторим, что мы сегодня узнали на уроке.

(Вывод, подведение итогов, выставление оценок)

Литература

1. Сборник задач по математике

под редакцией М.И. Сканави

ОНИКС 21 век

Мир и образование, 2002

2. Геометрия. Дополнительные главы. 8 – 9 кл

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов

3. Задачи по геометрии . Пособие для учащихся 7-11 класс.

Б.Г. Зив