Конспект урока «Циркуль» по геометрии

Конспект урока на тему «Циркуль»

С циркулем мы знакомимся в школе. Семейство современных циркулей столь разнообразно, что во многих из них и не признаешь циркуль с первого взгляда.

Циркуль - один из первых инструментов, с которым знакомятся школьники, и одно из древнейших изобретений человека. Но много ли мы знаем об истории цир­куля? Как он изменялся и в каком качестве использовался? И всегда ли он выглядел так, как мы привыкли?

Оценить древность использования любого инструмента можно по археологи­ческим находкам - по тем артефактам, которые не могли быть созданы без помощи этого инструмента. Многие древнейшие сооружения времён неолита имеют круг­лую форму. Круг - один из первых мистических символов человечества, подобный солнцу; он присутствует на многих сакральных изображениях и в символике всех народов мира. На сооружениях практически всех древних цивилизаций были обна­ружены следы использования циркуля.

Время изобретения циркуля неизвестно. Сам принцип описывания окружности с помощью двух равноотстоящих меток (предметов) возник еще во времена каменного века. Окружности можно было описывать и с помо­щью надломанной или согнутой ветки, и с помощью натянутой гибкой лианы или травинки, и с помощью палки с двумя сучками. Круги могли быть размечены и группой взявшихся за руки людей... А самый про­стой «циркуль» - это расставленные пальцы человече­ской руки, которые применялись и в рисовании дуг, и в измерениях. Главный принцип - постоянное расстояние между двумя точками инструмента - мог быть реализо­ван по-разному. И нарисовать окружность можно раз­личными по внешнему виду инструментами.

Известно, что в Древней Греции математики уже в VI-V веках до н.э. пользовались циркулями. Какими они были, эти древние инструменты? Скорее всего, в научных исследованиях использовались небольшие инструменты с двумя ножками.

Возможно, одно из древнейших изображе­ний такого циркуля, известное историкам, найдено в Китае. Мифические прародители китайцев Фу-Си и Нюй-Ва держат в руках гео­метрические инструменты: угольник и циркуль. Видимо, циркуль здесь исполь­зован в виде символа знания. Умение применять геометрические инструменты высоко ценилось в тех цивилизациях древности, где математичес­кие вычисления были сложны из-за неудобной системы нумерации - будь то иероглифическая запись чисел, или, например, римская нумерация - и «геометрические» вычисления, т.е. результат построений циркулем и линейкой, часто быстрее приводил к результату.

Со времени возникновения геометрических методов древности циркуль является символом знания и тяги к образованию. Например, после изобретения книгопечатания издавались много­численные «символариумы» - занимательные книжки с картинками; все картинки снабжались интересной и поучительной, чаще всего рифмо­ванной, подписью. И циркуль здесь частый гость - как символ знания, мудрости и стремления к учебе.

Но, кроме изображений циркуля, хотелось бы увидеть его и как исторический артефакт. И здесь на помощь приходит археология.

Самый древний из найденных циркулей, дати­рованный I веком н.э., был обнаружен археологами во Франции. Он представляет собой металлическую рогульку, с помощью которой, возможно, процара­пывались или размечались небольшие окружности.

Подобные найденному во Франции циркулю инструменты широко использовались и во многих других регионах мира для создания так называемых «циркульных» орнаментов на изделиях из дерева, кости, рога и др.

На раскопках в Великом Новгороде были обна­ружены металлические циркули-резцы для нанесе­ния циркульных (состоящих из окружностей и дуг) узоров на дерево или кость. Они похожи на древний циркуль, найденный во Франции.

Циркульные узоры были распространены во всех древних цивилизациях. На тер­ритории России в самых разных районах обнаружены предметы с такими узорами.

Но надо сказать, что гораздо более древние изо­бражения окружностей (циркульные узоры) имеются на изделиях протогеометрической керамики, т.е. на древ­них глиняных сосудах, украшенных простейшими гео­метрическими орнаментами, в том числе и наборами концентрических окружностей. Такие узоры были обнаружены археологами практи­чески всех регионов мира. Как наиболее изученная, протогеометрическая керамика Средиземноморья (и, в частности, Греции) имеет наибольшую известность. Следует отметить, что не на всех античных керамических сосудах с циркульными узорами эти узоры правильны - видимо, инструменты для нанесения концентрических окруж­ностей на бока сосудов были дороги и не всегда имелись в распоряжении древ­них мастеров. Но в тех случаях, когда окружности правильные, практически всегда можно заметить в их центре отметку от острия рисующего инструмента - циркуля.

Интересно здесь отметить, что в Греции существо­вала легенда о том, что Талоc (или же Пердикс, ученик и племянник Дедала) «сделал железную копию челю­сти рыбы и, таким образом, изобрёл пилу... изобрёл гончарный круг, а также приспособление для черчения окружностей...».

Надо сказать, что греки приписывали своим согражданам или мифическим героям многие откры­тия, и причин этому было несколько. Во-первых, моло­дая государственность в окружении древних египетской и шумерской цивилизаций стремилась самоутвер­диться. А, во-вторых, у древнего человека не укладыва­лось в голове, что одно и то же приспособление могло быть независимо изобретено разными людьми в разных местах и в разное время. Кроме того, в Древней Греции, в отличие от других древних цивилизаций, очень рано возникло понятие авторства - у значительной части гре­ческих сочинений, изобретений или художественных произведений были известны авторы. И поэтому в эллинистическом мире стремились знать авторов значимых изобретений, а если таковых не было, ими становились мифические или полуми­фические персонажи.

Но циркули существовали задолго до возникновения греческих государств. Изобретение металлических циркулей можно отнести ко времени появления у чело­века первых бронзовых изделий. Дело в том, что изготовление предметов из металла, их ковка предполагают наличие клещей (и эти инструменты как атрибуты ремеслен­ника часто встречаются на древних египетских и греческих изображениях). Но ведь конструкция клещей и циркуля практически одинакова! Кроме того, многочисленные медицинские (хирургические) инструменты, в том числе пинцеты, древние ножницы пружинного и шарнирного вида, которые обнаруживаются археологами в самых раз­ных уголках мира, - всё это тоже близкие «родственники» циркуля.

То есть циркуль был известен задолго до начала становления греческой цивили­зации. Быть может, Талос (или Пердикс) изобрёл не циркуль, а приспособление для создания циркульных узоров? Воз­можно, это было приспособление типа штангенциркуля с несколькими рисую­щими стержнями?

Вернёмся к древнейшему известному циркулю. Надо сказать, что много гораздо более совершенных разнообразных бронзовых инструментов, в том числе и цирку­лей, было найдено в развалинах Помпеи; следы циркульной разметки заметны на некоторых древнеримских монетах.

Б
ронзовые инструменты, найденные в Помпеях.

Итак, циркуль был известен человеку с древнейших времен. Но всегда ли он был таким - с двумя ножками? Ясно, что принцип действия циркуля - это посто­янное расстояние между двумя его точками. И этот принцип можно реализовать по-разному, поэтому исторически циркули были трёх основных видов, и предназна­чены они были для выполнения трёх основных операций - рисования окружностей и дуг, измерения и разметки.

Все мы привыкли воспринимать циркуль как инструмент с двумя ножками-стержнями, закреплёнными шарнирным соединением. Но истории известны и другие конструкции циркулей. Это верёвочные циркули (два стержня, связанных бечевой), штангенциркули (закреплённые на одной балке параллельные стержни) и всем знакомые кронциркули или циркули с головкой (две ножки-стержня, шар-нирно соединённые головкой). К семейству кронциркулей относятся также «пропор­циональные» и «совершенные» циркули.

Самый простой тип циркуля - это верёвочный циркуль, т.е. верёвка с отмечен­ными на ней (чаще всего узлами) расстояниями или с закреплёнными на концах стержнями. Такие инструменты использовались, например, в Древнем Египте при разметке земельных участков после очередного разлива Нила. Несмотря на свою примитивность, верёвочный циркуль используется и сейчас - там, где надо нарисо­вать дугу очень большого радиуса (например, при разметке спортивных арен) или там, где использование «жёсткого» циркуля неудобно - их часто можно увидеть в руках садовников и кровельщиков.

Другой вид циркуля - это штангенциркуль, или циркуль, короткие ножки которого могут передвигаться вдоль размеченной планки (штанги) - естественное усовершенствование верёвочного циркуля. Такие циркули применяются в основном при измерении - и достаточно больших объектов, и очень маленьких. С помощью штангенциркуля можно измерять не только наружную толщину предмета, но и внут­ренний диаметр отверстий, и их глубину. Штангенциркулями пользуются и лесники для измерения стволов деревьев, и ювелиры для оценки размеров обрабатываемых миниатюрных изделий. Штангенциркули существуют достаточно давно: в европей­ских музеях сохранились деревянные штангенциркули сапожников - такие цир­кули давали достаточно грубые результаты измерений. Сейчас движущуюся планку металлического штангенциркуля часто оснащают винтом, чтобы иметь возможность фиксировать расстояния более точно. Измерительные штангенциркули оснаща­ются электронной аппаратурой и могут измерять предметы с потрясающей точно­стью. Они же используются сейчас, например, и при вырезании круглых отверстий, поскольку являются родственником инструментов для высверливания или выреза­ния больших отверстий.

Но лучше всего нам знаком циркуль с двумя шарнирно соединёнными нож­ками, или кронциркуль (циркуль с головкой).

Было изобретено огромное количество модификаций кронциркулей - от мини­атюрных «балеринок» для вычерчивания очень маленьких окружностей до больших землемерных циркулей. Существуют циркули для черчения и для измерения. Юве­лиры используют миниатюрные кронциркули с заточенными металлическими нож­ками - с их помощью тончайшими царапинами размечаются контуры рисунков на изделия.

Для измерений применяются циркули с прямыми и изогнутыми ножками - такая форма удобна для измерения внутренних размеров через небольшое отвер­стие или для измерения толщины широких пластин в разных их местах (эту задачу решают, например, музыкальные мастера, выверяя толщины деки инструмента).

Для рисования окружностей большого радиуса были придуманы циркули, у которых одна удлинённая и изогнутая ножка позволяла рисовать такие окружно­сти относительно небольшим инструментом - «скрещивание» кронциркуля и штан­генциркуля дает компактный инструмент для вычерчивания больших окружностей. Добавлялись дополнительные ножки и фиксаторы-шкалы для определения разме­ров. Иногда при работе циркули располагали горизонтально, а на их ножках крепились подставки-бегунки, которые также участвовали в измерениях или разметке чертежа. Без циркуля не мыслилась деятельность специ­алистов многих профессий. Например, у артиллеристов специальный военный циркуль, снабжённый отвесом и различными шкалами, позволял произвести наиболее точное прицеливание.

Разновидностью циркуля являлось и большинство навигационных инструментов; всем известный секстант - это тоже кронциркуль со специфическими шкалами.

С древнейших времён существовали и пропорцио­нальные циркули. Они предназначались для пропорци­онального изменения в заранее заданном отношении размеров измеряемого или проектируемого объекта. Один из таких циркулей был найден в Помпейских раз­валинах. Это был циркуль золотого сечения: раствор разных концов соединённых шарниром в средней части ножек находился в постоянном отношении (в отно­шении золотого сечения). Были придуманы циркули и с подвижным относительно концов ножек положе­нием шарнира. Такой циркуль позволял легко в произвольной заданной пропорции увеличивать или уменьшать размеры чертежа или измеряемого объекта.

Снабжение циркулей разнообразными и позво­ляющими решать многочисленные задачи шкалами превратило циркуль в измерительно-вычислительный инструмент, или «пропорциональный циркуль» (под этим названием понимались два вида кронциркулей - уже упомянутый циркуль-делитель и циркуль с широкими ножками-шкалами).

Пропорциональный циркуль с широкими плос­кими пластинами-ножками часто располагался горизонтально на чертеже или на местности, и при больших размерах инструмента ему была необходима подставка. Иногда такими подставками были бегунки-указатели с ножками на нижней стороне. Подобно стеклышку на не совсем ещё поза­бытой логарифмической линейке, такие бегунки позволяли более точно снимать показания со шкал пропорционального циркуля.

­

Но был в истории циркуля и ещё один загадочный персонаж. Это - одна из модификаций кронциркуля - «совершенный» или эллиптический циркуль, создан­ный в античности для вычерчивания гипербол, парабол и эллипсов, и реконстру­ированный арабоязычными учёными в X веке.

В чём причина появ­ления такого необычного инструмента? И зачем рисо­вать эти кривые столь нео­бычным способом?

Появление инстру­ментов для рисования конических сечений (эллипса, гипер­болы и параболы) относится ко временам древнегрече­ской математики. Дело в том, что, греческие учёные решали большин­ство возникавших в практике задач с помощью циркуля и линейки. Причиной этому была не какая-то сверх-идея или стремление к некой абстрактной науке - нет, при­чина была та же самая, что и у китайцев, которые обожествили циркуль и угольник, дав его в руки своим мифическим прародителям. По этой же причине в Древней Индии алгебраические задачи решали геометрически, но вместо жёсткого циркуля и линейки использовали бечеву («Шульба-сутра», или «Правила верёвки», VI век до н.э.). И египтяне, как известно, использовали натянутые верёвки при разметке участков в плодородной долине Нила...

У всех древних цивилизаций было одно общее несчастье - крайне неудобная для вычислений система нумерации. Сначала у всех народов это была иерогли­фическая система (когда каждому числу соответствовал специальный значок или группа значков), затем эти системы несколько совершенствовались. Но только после повсеместного распространения привычной нам позиционной десятичной «араб­ской» системы нумерации быстрое вычисление произведений, дробей и даже кор­ней (квадратных и кубических, наиболее часто встречающихся в практике) стало возможным после небольшой арифметической подготовки. А пока такой удобной нумерации не было, древние землемеры, зодчие и конструкторы выходили из положения, решая ариф­метические и алгебраические задачи геометрическими методами, что часто было гораздо проще и быстрее уто­мительных и сложных вычислений. Например, ариф­метически непростая операция вычисления квадратного корня сводится всего лишь к вычерчиванию полуокруж­ности и восставлению перпендикуляра.

Древние конструкторы и математики научились решать геометрически достаточно широкий круг задач; сейчас это искусство называется «геометрической алге­брой» древних. Они знали, как строить многие гео­метрические объекты с помощью циркуля и линейки; умение выполнять такие построения и сейчас свиде­тельствует о хорошем развитии интеллекта. Навык решения вычислительных и алгебраических задач с помощью циркуля и линейки высоко ценился, и неслу­чайно поэтому циркуль часто связывали с божествами - например, в Древнем Риме циркуль являлся атри­бутом музы астрономии Урании, а в Средние века в Европе циркуль зачастую был в руках Бога-Творца или Спасителя.

Но античные конструкторы столкнулись с невозмож­ностью решить с помощью циркуля и линейки задачу об извлечении кубического корня, а ведь такая задача часто возникала при необходимости пропорционально изме­нить размеры некоего объекта, например сосуда или осадного орудия таким образом, чтобы эти размеры соответствовали наперед заданным характеристикам объёма или веса. О том, что такая задача была очень важна для практики, говорят многочислен­ные легенды о появлении одного из частных её случаев - задачи «об удвоении куба». Эта задача, как и другая знаменитая неразрешимая задача древности о трисекции угла, является задачей третьего порядка, т.е. сводится к решению кубического уравнения. Сейчас известно, что такие задачи невозможно решить с помощью циркуля и линейки.

Уже в V веке до н.э. математик Гиппократ Хиосский определил, что для реше­ния задачи об определении кубического корня необходимо найти два средних про­порциональных.

Немного позднее, в IV веке до н.э. Менехм, ученик Евдокса Книдского и член Афинской Академии Платона, обнаружил, что для решения задачи «об удвоении куба» по предложенной Гиппократом схеме достаточно найти пересечения кривых, уравнения которых мы сейчас бы записали как ау = х² и bx = y², т.е. надо найти пересечение двух парабол или параболы и гиперболы.

Но главное достижение Менехма - он обна­ружил, что эти кривые являются сечениями конуса (Менехм рассматривал только прямоугольные конусы, но позднее выяснилось, что годятся конусы с любым углом при вершине).

Видимо, уже тогда были сделаны первые попытки вычерчивания эллипса, гиперболы и параболы на основе их происхождения как конических сечений. А примерно через 100 лет после открытия Менехма другой греческий математик Аполлоний из Перги напи­сал огромный труд о конических сечениях, в котором определял «симптомы» или характерные свойства этих кривых, которые позволяли изобретать приборы для их удобного и точного вычерчивания по заранее заданным характеристикам.

Но вернёмся к «совершенному циркулю». Его несложно смастерить из двух «козьих ножек» - и убе­диться, что им очень неудобно пользоваться. Даже исхитрившись начертить с его помощью более или менее качественную кривую, очень трудно определить, где её оси и фокусы - а их надо знать для того, чтобы использовать при решении задачи «об удвоении куба», или, в общем виде, задачи третьего порядка.

Кстати говоря, математики мусульманского Вос­тока, которые реконструировали и исследовали совер­шенный циркуль, уже не нуждались в графическом решении задач - ведь они владели заимствованной у индийцев десятичной позиционной нумерацией (той самой «арабской», которая позднее пришла в Европу), и при решении конкретных вычислительных задач дово­дили решение до достаточно точного результата. А вопросы использования гео­метрических методов при решении алгебраических задач они заимствовали из греческих математических сочинений. И, преклоняясь перед великой учёностью античных математиков, они бережно сохраняли и творчески дополняли сочинения Евклида, Архимеда, Диофанта, Аполлония, Герона и др. В этом ряду стоит и сочи­нение ас-Сиджизи о «совершенном циркуле» - не имея практической пользы, оно было образцом исследования теоретического знания древних.

А как же решали задачу об удвоении куба греки? Изучив «симптомы» конических сечений, они научились достаточно точно вычерчивать конические сечения по задан­ным характеристикам при помощи специальным образом расположенных бечёвок и шарнирных механизмов, а также изобрели новые кривые для решения задач третьего порядка (конхоиду, циссоиду, спираль и пр.), которые можно было строить механиче­скими приспособлениями. Кроме того, они создали чрезвычайно остроумные инстру­менты, извлекающие кубические корни без вычерчивания кривых.

Построение эллипса на основе его фокального свойства.

«Метод садовника» вычерчивания эллипса использует открытое в древности свойство эллипса: сумма расстояний от его точек до двух фиксированных - фокусов - постоянна. Подобные «верё­вочные» приспособления были изобретены и для вычерчивания гипербол и парабол. При таком построении известны оси и фокусы конического сечения, которые необходимо знать для гра­фического решения задачи «об удвоении куба».

Итак, циркуль в течение многих столетий был основным инструментом мате­матика, механика, инженера, ремесленника. В Средние века и в эпоху Возрожде­ния искусство владения циркулем высоко ценилось в среде художников, ювелиров, архитекторов и квалифицированных ремесленников. Циркуль появляется на гер­бах цеховых гильдий каменщиков, плотников и пр. в различных городах Европы. Умение быстро разметить с помощью циркуля размеры и контуры создаваемого объекта было необходимым условием признания мастерства - и во многих горо­дах проводятся соревнования по решению практических задач с помощью циркуля и линейки. Циркуль квалифицированного ремесленника, снабжённый дополни­тельными приспособлениями, украшенный узорами и аллегорическими изобра­жениями, был дорогим и точным инструментом. Размеры циркулей менялись от миниатюрного циркуля ювелира до полуметровых и более циркулей каменщиков.

Но так было лишь до тех пор, пока не стала общеупотребительной позици­онная, удобная в вычислениях система нумерации. Циркуль как вычислитель­ное средство потерял своё значение, и основным его применением стали разметка (построение чертежей) и измерение. Впрочем, в некоторых областях человеческой деятельности умение управляться с циркулем важно и по сей день (например, при создании музыкальных инструментов или в ювелирном искусстве). Важную роль стали играть пропорциональные циркули как средство облегчения вычислений при решении практических задач - но это, скорее, были не геометрические, а номо­графические методы (т.е. методы, основанные на использовании предварительно построенных чертежей, специфических для каждого типа задач).

К началу XVI века античные методы решения задач с помощью циркуля и линейки и математика, основанная на геометрии, стали восприниматься учёными уже как исключительно теоретические построения древнегреческих мыслителей, стремившихся к отвлечённому знанию (немалую роль в формировании такого отно­шения к греческой науке сыграла и наука мусульманских стран). При этом циркуль активно применялся в самых разных областях деятельности человека - в первую очередь, это архитектура и строительство, затем - ювелирное дело и живопись, типографское дело и пр. Циркуль здесь - необходимый инструмент ремесленника и художника. О своей работе по разметке рисунка на сложных ювелирных изделиях рассказывает, например, Бенвенуто Челлини (1500-1571) в своих мемуарах. А известный художник и математик Альбрехт Дюрер (1471-1528) создал специаль­ное учебное пособие для ремесленников, в котором привёл не только точные спо­собы построения правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, но и приближённые методы для тех случаев, когда точное построение невозможно (например, построение правильного девятиугольника). Впрочем, эти приближён­ные методы построения правильных фигур настолько искусны, что отличие постро­енной фигуры от правильной невооружённым глазом заметить невозможно.

А как обстояло дело в России?

Согласно исследованиям наших археологов и историков, основным измери­тельным инструментом при возведении зданий на Древней Руси являлись специ­ально размеченные измерительные шесты - мерила. Но у наших предков уже в IX веке имелись и различные металлические инструменты: щипцы, клещи, ножницы и пинцеты. Жители Древней Руси умели делать сложные замки, а для этого надо было уметь производить достаточно точные измерения и переносить размеры с модели на изготавливаемую деталь. По этим данным можно судить о наличии у них циркулей.

Наиболее известный материал по истории культуры нашей страны - это худо­жественное наследие, в первую очередь - иконы. Если внимательно присмотреться, то на большинстве русских икон можно увидеть следы процарапанных на основе иконы окружностей - намеченных контуров нимбов изображённых персонажей. Под слоем краски на старинных иконах можно различить и углубления в центрах процарапанных окружностей. Причём эти окружности имеют стандартные размеры.

При изображении массовых сцен и на клеймах, обрамляющих «житийные» иконы, все нимбы имеют одинаковые радиусы (т.е. на одной иконе могут быть изображены нимбы двух-пяти, а иногда и большего количества стандартных размеров); у глав­ных персонажей иногда в изображении нимба использовались концентрические окружности. О том, каким инструментом процарапывались эти контуры на право­славных иконах, мы можем судить по мозаичному изображению виллы Эвстолия в Курионе (Кипр).

В руке персонажа мы видим штангенциркуль-чертилку размером около 20 см - видимо, именно такие инструменты использовались при вычерчива­нии больших нимбов, а для малых нимбов могли быть использованы и приспособления, подобные древним новгородским циркулям-царапкам. Впрочем, рестав­раторы считают, что для отдельных больших нимбов могли быть использованы и верёвочные циркули.

А использовались ли на Руси кронциркули? Как уже говорилось, основным инструментом древнерус­ского зодчего было мерило - размеченный несколь­кими шкалами шест, с помощью которого отмечались на возводимом сооружении необходимые размеры. Но для мелких работ такие приспособления не годятся.

Циркуль на Руси был не только инструментом учёного. В XV-XVII веках учёт земельных угодий вёлся в соответствии с правилами «сошного письма» о начислении податей в зависимости от количества и качества земли. С XVI века использовались специальные руководства - рукописные «Книги сошного письма», содержащие также некоторые сведения из геометрии и геодезии. Видимо, уже тогда началось исполь­зование землемерных циркулей раствором в одну сажень (около 1,5-2 метров); сейчас землемерные циркули обычно имеют раствор 1 или 2 метра.

В древности на Руси циркуль назывался «кружало», а современное его назва­ние происходит от немецкого Zirkel или польского Cyrkiel и вошло в русский язык в петровские времена. Заметим, что, в свою очередь, это слово происходит от латинского слова circulus или circus - круг, цирк. А слово «центр» (круга) происходит от греческого Kevxpov - остриё (одной из ножек циркуля).

Можно предположить, что первым европейцем, использовавшим циркуль в сакральных или магичес­ких целях, был руководитель своеобразной научно-мистической школы-секты Пифагор. Мы знаем, что первые пифагорейцы опознавали друг друга по некоему геометрическому символу, неизвестному другим. Возможно, это была пентаграмма или пятиугольная звезда, точное построение которой (при помощи циркуля и линейки) непросто.

С развитием связей России с Европой циркуль становится геральдическим сим­волом и в нашей стране. В подражание западным традициям начинают создаваться гербы дворянских родов, и циркуль появляется на них - как на гербах старинных дворянских родов, так и на гербах дослужившихся до дворянства чиновников и офицеров. Причем циркуль с поднятыми вверх ножками символизирует масонство, а прямой угол циркуля - твердость и прямоту обладателя герба.

Российские дворянские гербы.

а. Герб Картмазовых - «гласный» герб: изображена карта и цир­куль - атрибуты рисования (мазания] карт. б. Герб Горихвостова, указавшего здесь своё масонство. в. Герб Михеева, заслужив­шего потомственное дворянство государственной службой.

С
охранились многочисленные образцы местных денег периода первых после­революционных лет, украшенных в том числе и изображением циркуля.

Позднее циркуль был помещен на герб ГДР

На купюре 50 германских марок выпуска 1989 г. рядом с портретом немецкого архитектора Бальтазара Неймана (1687-1753) помещено изображение пропор­ционального циркуля - основного инструмента зодчего тех времен. А на памятной монете 2000 г., посвящённой С.В. Ковалевской, циркуль символизирует математику.

Боны (платёжные знаки) Черноморской ж.д.

Из коллекции московского коллекционера-бониста А.В. Ломакина.

Казалось бы, циркуль - скучный и невзрачный инструмент... А сколь богата его история и значительно влияние на развитие нашей цивилизации!