Презентация "Комплексные числа и квадратные уравнения" по математике – проект, доклад

Комплексные числа и квадратные уравнения

Из курса алгебры основной школы вам известно, что квадрат- ное уравнение ах2 + bх + с = 0, а≠О, с действительными коэффициентами a, b, с имеет два различных действительных корня, если его дискриминант D = b2 - 4ас — по­ложительное число. Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых корня. Если же D

Определение. Квадратным корнем (или корнем второй сте­пени) из комплексного числа г называют комплексное число, квад­рат которого равен z. Множество всех квадратных корней из ком­плексного числа z обозначают √z. Извлечь квадратный корень из комплексного числа z — это значит найти множество √zИзвлечем, например, квадратный корень из -1. По определению уравнение z2 = -1, т. е. (х + yi)2 = -1, х ∈R, у ∈R. Раскрывая скобки в левой части, получаем

Из второго уравнения системы следует, что либо у = 0, либо х = 0. Если у = 0, то х2 = -1; действительных корней у этого уравнения нет. Если х = 0, то -у2 = -1, у2 =1, у = ± 1. Значит, система имеет два решения: (0; 1), (0; -1), и, соответственно, уравнение z2 = -1 имеет ровно два корня: 0 + 1ч = i и 0 - 1 • i = -i. Более кратко, √-1 = ±i. И вообще:

Геометрическая иллюстрация

Важное замечание. Знак квадратного корня в правой части записанного равенства понимается как арифметический квадрат­ный корень из положительного действительного числа, а тот же знак корня в левой части означает извлечение корня уже в мно­жестве комплексных чисел.

Пример 1. Решить уравнение z2 - 3z + 8,5 = 0. Решение. Так как все арифметические операции над дейст­вительными числами вместе со свойствами этих операций имеют место и для комплексных чисел, то сохраняется и формула корней квадратного уравнения. Воспользуемся ею: Ответ: z1 = 1,5 + 2,5i, z2 = 1,5 - 2,5i.

Пример 2. Решить уравнение: a) z4 - 1 = 0; б) z6 – 1 Решение. а) Разложим левую часть на множители:

б) z6 – 1, разложим левую часть на множители: Задача свелась к решению четырех уравнений. Из уравнения z-1 = 0 находим: z1 = 1. Из уравнения z + 1=0 находим: z2 = -1. Из квадратного уравнения z2 + z + 1 = 0 находим: Из квадратного уравнения z2 - z + 1 = 0 находим:

Во всех решенных уравнениях наблюдалась одна и та же закономерность: если у уравнения был комплексный корень, то и сопряженное число служило корнем того же уравне­ния. Оказывается, верна общая теорема. Теорема 1. Если у уравнения anzn + аn-1zn-1 + ... + а1z + а0 = 0 с действительными коэффициентами имеется комплексный корень, то и число, сопряженное этому корню, также является корнем уравнения.

Перейдем к уравнениям с комплексными коэффициентами. У квадратного уравнения az2 + bz + с = 0, а ≠0, с комплексными коэффициентами а, b, с, как правило, комплекс­ным (не действительным) будет и дискриминант D = b2 - 4ас. Поэтому нам следует прежде всего научиться извлекать квадрат­ные корни из комплексных чисел с ненулевой мнимой частью.

Замечание 1. Можно не пользоваться громоздкой формулой из теоремы 2. Для вычисления √3 - 4i рассуждаем так: √3 - 4i = х + yi, 3-4i = (х + yi)2, и получаем систему: откуда находим: х = 2, у = -1 или x = -2, у = 1. Значит, z1= 2 - i, z2 = - 2 + i или z1,2 = ±(2 - i).

Наконец, рассмотрим квадратное уравнение az2 + bz + с = 0 , а ≠ 0, с комплексными коэффициентами а, b, с. Здесь сохраняется привычная формула корней квадратного уравнения: