Презентация "Подобие в геометрии. Подобные треугольники" – проект, доклад

ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Афанасьева С.А. МОУ «СОШ № 64»

2015 г.

ТЕМА «ПОДОБИЕ»

Теоретический материал. Задачи.

ПЛАН

Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников.

ЗАДАЧИ

Разминка. Решение задач. Задачи на признаки подобия. Тест

Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,, если

ПРИМЕР

Даны два прямоугольных треугольника

Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как

т.е. и

НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Пропорциональность отрезков

Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.

например

Подобные фигуры

Предметы одинаковой формы, но разных размеров

Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями;

Здание и его макет

Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами

Подобными являются любые два квадрата

Подобными являются любые два круга

два куба два шара

Подобные треугольники

Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1, у которых A = A1, Β = Β1, C = C1. Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1, лежащие против равных углов, называют сходственными

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

A = A1, Β = Β1, C = C1.

ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1

Коэффициент подобия

Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

k – коэффициент подобия.

Дополнительные свойства

Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

Отношение периметров

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.

Отношение площадей

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1, коэффициент подобия k

A = A1, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем

Свойство биссектрисы треугольника

C B A

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

D или

ΔABD и ΔACD имеют общую высоту AH ΔABD и ΔACD имеют равные углы 1 = 2

ИМЕЕМ

Дано: ΔABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD,CD. Решение:

Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (20 – x) см. По свойству биссектрисы треугольника

имеем

Решая уравнение, получим х = 8

BD = 8 см, CD = 12 см.

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников. (по трем пропорциональным сторонам)

Первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A =A1, B = B. Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:

Доказательство: A = A1, B = B1. C = 180º – A – B, C1 = 180º – A1 – B1. C = C1 Таким образом углы треугольников соответственно равны.

Доказательство: A = A1, B = B1. Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов C=C1, A=A1, получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.

Второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A =A1, Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:

Доказательство: Достаточно доказать, что B = B1. ΔABC2, 1=A1, 2=B1, ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам. (из подобия). По условию AC=AC2. ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1.

Третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:

Доказательство: Достаточно доказать, что A=A1 ΔABC2, 1=A1, 2=B1, ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам. Отсюда По условию ΔABC=ΔABC2 по трем сторонам, т.е. A = A1

Разминка

1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK. Найдите MN, если AB = 3, CD = 4, PK = 2.

MN = 1,5

2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого.

7,5 5 · 1,5 = 7,5

3 По данным на рисунке найдите х.

х = 15

4 Длины двух окружностей 2π и 8π. Найдите отношение их радиусов.

0,25 2π : 8π = 1 : 4

5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2.

6

k2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия

3 · 2 = 6 сторона большего квадрата

Решение задач 1 7 13 4 8 11 15 14 5 2 3 12 9 10

1 задача

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN. Найдите EF, если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

4 задача

В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите, AD, CD.

7 задача

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.

10 задача

Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

13 задача

ΔABC ~ ΔA1B1C1 , AB : A1B1 = k = 4 SΔABC= 48 м2. Найдите площадь треугольника A1B1C1 .

2 задача

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если

5 задача

Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника

8 задача

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем

F = 20°, E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников.

11 задача

Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.

14 задача

Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC , если

3 задача

6 задача

AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 Найти AB, DC, AC

9 задача

На рисунке ΔВЕС ~ ΔАВС, АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС.

12 задача

Масштаб плана 1 : 1000. Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.

15 задача

Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь каждого треугольника.

1. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.

Решение:

Решение

Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC: 1=2 (накрест лежащие при AD || BC, и секущей AC; 3=4 (вертикальные) ΔAOD ~ ΔBOC (по двум углам) = k

O

. k = 3 AD + BC = = 3BC + BC = 4BC AD + BC = 4,8см (по условию) BC = 1,2 см AD = 3,6 см

Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см

2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF.

Отсюда ΔABC~ΔDEF по трем пропорциональным сторонам

Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

ΔABC~ΔDEF Соответственно A = E B = F ACB = EDF

E

. Рассмотрим прямые BC и DF, секущую AE 1 = 2 (внешние накрест лежащие) BC || DF.

3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причем . Докажите, что CBO = DAO.

Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB DOA = COB (вертикальные). . ΔAOD ~ ΔCOB по углу и двум пропорциональным сторонам. CBO = DAO (из подобия).

4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P. Докажите, что ΔAPB равнобедренный.

. Рассмотрим ΔBEM и ΔABC BE = AB − AE = 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны

P M 4,5 5,25

ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам. Следовательно, BME = AСB EBM = BAC BEM = ABC. Рассмотрим треугольник ABP: EBM = BAC, т.е. ABP = BAP. ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать.

5. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. Отрезок MD пересекает AC в точке O. Найдите отрезки AО и CО.

Рассмотрим ΔAOM и ΔCОD AOM = CОD (вертикальные), MAO =  ОCD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC). Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD по двум углам.

ΔAOM ~ ΔCОD

. AM = ½ AB (по условию) AB = CD (ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2

т.е. AO = 0,5CО

AO = ⅓AC = ⅓·90 = 30 CO = ⅔AC = ⅔·90 = 60

ТЕСТ

Решите задачи, отметьте нужные ячейки

1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3

2) По данным рисунка периметр ΔABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) 18

А В С

3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5

0,5 2,5

4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4

5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны

ОТВЕТЫ:

Помощь в управлении презентацией

управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход

Возврат в содержание

Переход по слайдам

Возврат к гиперссылке

Справка