Презентация "Лекции по комплексным числам" по математике – проект, доклад

Мария Альбертовна Зироян Профессор кафедры математики и информатики

Лекции по математике для студентов экономических специальностей

Лекция 1

Комплексные числа: определение; геометрическое изображение комплексного числа; формы записи комплексного числа; операции над комплексными числами.

Решить уравнение: Решение:

Определение. Комплексным числом называется выражение вида где - действительные числа , мнимая единица. Число действительная часть комплексного числа и обозначается , а мнимая часть и обозначается , т.е.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

1. Два комплексных числа равны, если 2. Z = 0, если x=0; y=0 3. Если y=0, то z R. 4. Числа называются сопряженными и обозначаются

-3 3

Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Изображается комплексное число точкой на комплексной плоскости.

. z1 . z2 . z4 . z3 Rez Imz

Геометрическое изображение комплексного числа Для геометрического представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости OXY. Плоскость называется комплексной , если каждому комплексному числу соответствует точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначно. Оси OX и OY, на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями.

Геометрическое изображение комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

y φ r z x

Показательная форма записи комплексных чисел Из формулы Эйлера

(1707-1783) Леонард Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. Открытия Эйлера в математике, механике, физике и технике прочно вошли в современную науку. Многие из них были сделаны в Петербургской Академии наук, где Леонард Эйлер проработал 31 год (в 1727-1741 гг. и 1766-1783 гг.).

Пример. z=-1-i записать в тригонометрической и показательной формах. Решение.

Операции над комплексными числами z0=x0+iy0 и z1=x1+iy1

Сумма двух комплексных чисел и есть также комплексное число :z0 + z1 =(x0+x1)+i(y0+y1) Пример: (3+2i)+(1+5i)=(3+1)+i(2+5)=4+7i. Как следует из выражения при сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются.

На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма

Разность двух комплексных чисел и есть также комплексное число: z0 - z1 =(x0-x1)+i(y0-y1). Пример: (4+i)-(-2-i)=(4+2)+i(1+1)=6+2i. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма . На первом шаге из вектора формируется вектор , после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

2.Вычитание комплексных чисел

Расстояние между двумя точками:

3. Умножение комплексных чисел. Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных чисел необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов: z1 · z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1). Пример 1. (1+3i)(-5-2i)=-5-15i-2i-6i2 =-5-17i+6= =1-17i . Пример 2. (1+3i)(1-3i)=1-3i+3i-9i2 =1+9=10 . всегда действительное число

4. Деление комплексных чисел Пример

5. Операции над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. 1. 2. 3. 4.