Презентация "Задачи на площадь круга" по математике – проект, доклад

Площадь круга

Для нахождения площади круга рассмотрим правильные многоугольники, вписанные в соответствующую окружность. При увеличении числа сторон многоугольники приближаются к окружности. Поэтому площадью круга считают число, к которому приближаются площади вписанных правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Теорема. Площадь круга равна половине произведения длины его окружности на радиус.

Таким образом, площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле

Площадь сектора

Круговым сектором, или просто сектором, называется общая часть круга и центрального угла с вершиной в центре этого круга.

Для нахождения формулы площади сектора заметим, что площадь сектора с центральным углом в 1° в 360 раз меньше площади круга и, следовательно, площадь сектора с центральным углом в φ градусов будет выражаться формулой

Площадь сектора круга, радиус которого равен R, а длина дуги равна l, выражается формулой

Площадь сегмента

Круговым сегментом, или просто сегментом, называется часть круга, отсекаемая от него какой-нибудь хордой.

Площадь сегмента, ограниченного хордой AB, можно найти как разность площади сектора OAB и площади треугольника OAB. Пусть центральный угол равен φ, радиус круга R. Тогда площадь сектора равна Площадь треугольника равна Поэтому площадь сегмента будет выражаться формулой: Sсегмента = Sсектора – SOAB = = -

Вопрос 1

Что считается площадью круга?

Площадью круга считают число, к которому приближаются площади вписанных правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Вопрос 2

Чему равна площадь круга радиуса R?

Площадь круга равна половине произведения длины его окружности на радиус.

Вопрос 3

Какая фигура называется круговым сектором?

Круговым сектором называется общая часть круга и центрального угла с вершиной в центре этого круга.

Вопрос 4

Чему равна площадь кругового сектора?

Площадь сектора с центральным углом в градусов будет выражаться формулой

Вопрос 5

Какая фигура называется круговым сегментом?

Круговым сегментом называется часть круга, отсекаемая от него какой-нибудь хордой.

Вопрос 6

Как вычисляется площадь сегмента?

Площадь сегмента выражается формулой: Sсегмента = Sсектора – SOAB = -

Упражнение 1

Найдите площадь круга, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8π.

Упражнение 2

Вычислите площадь круга, диаметр которого равен: а) 4 см; б) 10 м.

Ответ: а) 4π см2; б) 25π м2.

Упражнение 3

Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 1 м.

Ответ: м2.

Упражнение 4

Вычислите радиус круга, площадь которого равна: а) 4 см2; б) 16 м2.

Ответ: а) см; б) см.

Упражнение 5

Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличить: а) в 2 раза; б) в 3 раза?

Ответ: а) в 4 раза; б) в 9 раз.

Упражнение 6

Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями радиусами a и b, где a Ответ: π(b2 – a2).

Упражнение 7

Найдите площадь кругового кольца, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Упражнение 8

Найдите площадь кругового сектора, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Упражнение 9

Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами а и b.

Ответ:

Упражнение 10

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной а.

Упражнение 11

Во сколько раз площадь круга, описанного около квадрата, больше площади круга, вписанного в этот квадрат?

Ответ: В два раза.

Упражнение 12

Найдите радиус окружности, которая делит круг радиуса R на две равновеликие части - кольцо и круг.

Упражнение 13

На клетчатой бумаге нарисуйте круг с центром в точке O, площадь которого в два раза меньше площади круга, изображенного на рисунке.

Упражнение 14

Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: а) 60°; б) 40°; в) 150°.

Ответ: а) ; б) ; в)

Упражнение 15

Найдите площадь сектора круга радиуса 3, длина дуги которого равна 4.

Ответ: 6.

Упражнение 16

Найдите площадь сегмента, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8(π – 2).

Упражнение 17

Найдите площадь части круга, расположенной вне вписанного в этот круг: а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. Радиус круга равен R.

Упражнение 18

Найдите площади заштрихованных фигур.

б)

Упражнение 19

Около правильного многоугольника со стороной а описана окружность, в многоугольник вписана другая окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца.

Упражнение 20

Верно ли, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Ответ: Да.

Упражнение 21

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, если d = 1 см, а = 2 см, b = 6 см.

Упражнение 22

У ломаной АВСDE все вершины принадлежат окружности радиуса 1. Углы в вершинах В, С и D равны 45°. Найдите площадь заштрихованной части круга.

Упражнение 23

На рисунке заштрихованная фигура состоит из четырех, так называемых, луночек Гиппократа. Найдите ее площадь, если сторона квадрата ABCD равна 1.

Ответ: 1.

Упражнение 24

Найдите площади заштрихованных фигур на рисунке. Радиусы окружностей равны 1.