Презентация "Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения" (9 класс) по математике – проект, доклад

Жанатаева Алина 9 «с»

Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения.

Диофантовы уравнения

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Диофантовы уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)

Биография Диофанта.

Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика»

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, затем решается система и выводится ответ.

Решить уравнение в целых числах с помощью разложения на множители.

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что Получим две системы: При решении данных систем получим: 1) 2) Ответ:

Использование свойств простых чисел

Решить в натуральных целых числах :19х+89у=1989 1. 19х+89у=1989 19х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) 2. (19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у) возможно в 3 случаях 3. а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0 a) х = нет b) х=11 c) х=100 решений у=20 у=1 ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части

Решить уравнение в целых числах: х2-ху+5х-9=0. х2+5х-9 9 y= = x+5- x , y Є Z. 9 Є Z, если х= ±1, ±3, ±9. x 3 ) Следовательно: а) х=-1, у=13 г) х=3, у=5 б) х=1, у=-3, д) х=-9, у=-3 в) х=-3, у=5 е) х=9, у=13 Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13).

x

Учет четности, нечетности чисел.

Решить в целых числах уравнение: х3+у3-3ху=2 1)Если х, у нечетны => х3-нечетное число у3-нечетное число 3ху-нечетное число => Получаем: нечет+нечет-нечет ≠ чет 2)Если х-четное, у-нечетное => х3-четное число у3-нечетное число 3ху-четное число => Получаем: чет+нечет-чет ≠ чет (аналогично, если х-нечетное, у-четное) 3)Если х-четное, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n 8m3+8n3-12mn=2 4(2m3+2n3-3mn)=2/:2 2(2m3+2n3-3mn)=1/:2 2m3+2n3-3mn= 0,5 => невозможно ни при каких целых m и n ОТВЕТ: решений нет

Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x ) Решение: Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1 Пусть х!=1 =>y!=10z+8 Правая часть последнего равенства не делится на 5 => y≤4 , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. =>данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Учёт ограниченности выражений

Решить уравнение в целых числах: 2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7 (х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2 РЕШЕНИЕ: 1.Заметим что: 1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2 2) 2. => Значит левая часть ≥ 7. 3. => уравнение равносильно системе : Откуда х =±1,у = ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах.

- 3 - +

Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых

Решить в целых числах уравнение: Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. Составим систему уравнений Т.к. х и у не принадлежат Z => уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений

Учет свойств делимости.

Решить в целых числах уравнение х3-100=225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х3 должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z Є Z, тогда 125z3-100=225y => 5z3-4=9y Очевидно,что левая часть уравнения должна быть кратна 9,т.е a) z=3t b) z=3t+1 c) z=3t-1,x=5z => 5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y 5(3t-1)3-4=9y 135t3-4=9y 5(27t3+27t2+9t+1)-4=9 5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y 135t3+135t2+45t+1=9y 135t3-135t2+45t-9=9y с)кратно 9 а) Не кратно 9 б)не кратно 9 => х=15t-5, y=15t3-15t2+5t-1 ОТВЕТ: (15t-5; 15t3-15t2+5t-1), t Є Z

Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х2-ху+у2) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р, х-у=q. =>, Подставим в исходное уравнение: 7р= 28p=3(p2+3q) Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно 3, т.е p=3k, k Є Z Пусть p=3k, тогда получим 28*3k=3((3k)2 +3q2); 28k=3(3k2 +q2). Отсюда следует, что k кратно 3 => k=3m, m Є Z; Пусть k=3m, получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2; 28m=27m2+q2 ; m(28-27m)=q2; так как q2≥0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ≥0 c помощью метода интервалов) 7. а) При m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p2+3q)), => х=0, у=0 (т.к. ) b)При m=1, k=3, p=9, q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) => 1)При q= 1, получаем х=5; у=4; b) при q= -1, получаем х=4; у=5; ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0)

Спасибо за внимание!