Конспект урока «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ» по математике для 9 класса

Почему торжественно вокруг? Есть о математике молва,

Слышите, как смолкла речь? Что она в порядок ум приводит

Это о царице всех наук Потому хорошие слова

Поведём сегодня речь. Часто говорят о ней в народе.

(слайд 1)

Сегодняшний урок необычный. На нём мы повторим тему «Элементы комбинаторики». После небольшой разминки (устной работы), мы проведём математическую регату – соревнование между тремя экипажами.

2. Устная работа.

Учитель. И так, начинаем разминку. Задачи разминки решаем устно, или с прикидкой на черновике, можно решение задач записать в тетради, поэтому запишите число, классная работа.

(слайд 2)

Задача 1. На завтрак Марат может выбрать плюшку, бутерброд, пряник и запить их чаем или кофе. Из скольких вариантов завтрака Марат может выбрать?

– Составим сначала все завтраки с кофе: кофе и плюшка, кофе и бутерброд, кофе и пряник, всего – три; завтраков с чаем – тоже три.

Значит, Марат может выбрать завтрак из 6 вариантов.

Учитель: На практике часто встречаются задачи, решая которые

приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций (вариантов). Как называются такие задачи?

– Задачи, в которых мы осуществляем полный перебор всех вариантов или всевозможных комбинаций называются комбинаторными.

Учитель: А как называется раздел математики, в котором рассматриваются такие задачи?

– Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

(слайд 3)

Задача 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не боле одного раза?

Учитель. При решении задачи можно использовать способ рассуждения, который мы называем перебором всевозможных вариантов, и выписать все возможные комбинации чисел можно данный перебор вариантов проиллюстрировать на схеме, которую мы называем деревом вариантов.

А как решить задачу устно, не выписывая числа, не изображая дерево вариантов?

– Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами, так как после выбора 1 цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать 3-мя способами. 3-ю цифру можно выбрать (из оставшихся 2-х) двумя способами. Следовательно, число искомых трёхзначных чисел равно произведению 4 · 3 · 2, т.е. 24.

Учитель. Как называют правило, на котором основано решение задачи?

– При решении использовали комбинаторное правило умножения.

(при желании учащиеся формулируют это правило)

Учитель. Дерево вариантов это геометрическая модель правила произведения.

(слайд 4)

Задача 3. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

– Из А в В можно попасть 5-ю способами, а из В в С – 3-мя способами. По правилу произведения 5 · 3 = 15 путей.

(слайд 5)

Задача 4. Сколькими способами можно рассадить 5 человек на 5

стульях, если каждый раз рассаживать их по-новому?

– 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 различными способами.

(слайд 6)

Задача 5. А сколько существует способов раскладывания 6 разных писем по одному в 6-ть конвертов?

– 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.

Учитель. В задачах 4 и 5 мы столкнулись с произведением подряд идущих натуральных чисел. Какое обозначение существует для такого произведения?

– произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1 · 2 · 3 · …· п.

Учитель. Приведите примеры нескольких значений для п!

– 2! = 1· 2 = 2; 3! = 1 ·2 · 3 = 6; и т.д.

Учитель. (задания на карточках)

Выполним несколько упражнений на вычисления:

1)6! – 5!; 2) 51!/ 49!; 3) что больше и во сколько раз 6! · 5! И 5! · 6 ?

И так, я думаю, мы провели хорошую разминку и подготовились к регате.

III. Математическая регата.

Учитель. В регате участвуют три экипажа: №1, №2 и №3. Обязанности «Центра управления» регатой беру на себя.

1 заплыв (тур). Проверка знаний теории (каждому экипажу даются тесты с заданиями 1 тура, за верный ответ – 1 балл).

Задания 1 тура.

ТЕСТ 1. Выбрать правильное определение.

А. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

В. Сочетанием из п элементов по к (к ≤ п) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определённом порядке из данных п элементов.

С. Размещением из п элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из п элементов. Ответы пояснить.

ТЕСТ 2. Выбрать верное утверждение.

А. Число сочетаний можно вычислить по формуле С_п = п!

В. Формула для вычисления числа размещений из п элементов по к :

А_п^к = п (п – 1)(п- 2) · … · (п – (к – 1)).

С. Число всевозможных перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Р _п^к = п!/(к!(п – к)!).

По количеству набранных баллов 2 экипажа выходят во второй

заплыв (тур), а проигравший экипаж отправляется в «утешительный» заплыв.

Задания «утешительного» заплыва.

1. Повторите по лекциям определения: перестановки, сочетания, размещения.

2. Повторите формулы для вычисления перестановок, сочетаний, размещений, запишите их в тетради.

3. Решите задачи.

а) Сколькими способами можно разместить за круглым столом 12 человек?

б) Вычислите. 5!; 6! · 2!; 9! – 8!; 35!/33!; 16!/(14!3!); 8!/10!.

в) В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали?

г) Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3-х дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор.

2 заплыв (тур). Решение задач.

Каждому экипажу даются задачи с выбором правильного ответа. За каждый верный ответ – 1 балл.

Задание 2 тура. Решить задачи.

1) Из города А в город В ведут 3 дороги, из города В в С – 2 дороги, из С в Д – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город Д через города В и С?

А. 3 · 2 · 4 = 24 способа; Б. 3 + 2 +4 = 10 способов; С. Другое решение.

2) Курьер должен разнести пакеты в 8 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

А. 1 + 2 + 3 + …+ 8; В. 8! С. Другое решение.

3) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать 2-х для участия в олимпиаде?

А. 870; В. 345; С. 30!/2.

4) В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами можно сделать?

А. С₁₆⁴ + С₁₂³; В. С₁₆⁴ · С₁₂³; С. Другое решение.

5) Сколько различных стартовых 6-к можно образовать из числа 10 волейболистов?

А. С₁₀⁶; В. А₁₀⁶; С. Другое решение.

IV. Историческая справка.

(слайд 7)

Экипажи приглашаются на «отдых» в кают-компанию, чтобы послушать радиогазету «Из истории комбинаторики».

В это время «центр управления» регатой подводит итоги. Если итоги одинаковы, регата продолжается: экипажи отправляются в дополнительный заплыв.

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, - возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин и связанным с этим расцветом конечной математики. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике, и т.д.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных положений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая лучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений всё шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Приспособления таких игр археологи находили в древних захоронениях, например в пирамиде египетского фараона Тутанхамона.

(слайд 8)

О таких играх английский поэт Уордсворд писал:

Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить, тонким.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Толчком к развитию комбинаторики послужили азартные игры, прежде

всего игра в кости (два или три кубика с нанесёнными на них точками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказалась больше). Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие – реже. Задача оказалась совсем не простой, особенно в случае трёх или даже четырёх костей.

Этой проблемой в XVI в. Занимались известные итальянские математики Джироламо Кардано, Никколо Тарталья, в XVII в. – Галилео Галилей, крупнейшие математики Франции Блез Паскаль и Пьер Ферма. Работы последних ознаменовали рождение двух новых ветвей математики – комбинаторики и теории вероятностей.

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Ещё одна причина – тайна переписи. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами учёные. Изобретались всё более и более сложные шифры, а для кодирования и расшифровки информации привлекались математики. Так, ещё в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали учёным при разгадке письменности древних народов.

В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказалась биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилось с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

Задания дополнительного заплыва.

(количество дополнительных задач зависит от времени урока, можно ограничиться одной задачей, т.е. до победы одного экипажа)

1. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать?

А. 870; В. 435; С. Другой ответ.

2. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

А. А₉²; В. С₉²; С. Другой ответ.

3. Номер машины в некотором городе состоит из 2-х различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С и 3-х различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами.

А. С₅² + С₁₀³; В. А₅² · А₁₀³; С. Другой ответ.

V. Итоги урока.

Сообщаются результаты регаты, и оценивается работа учащихся на уроке.

За первое место – «5» всем членам экипажа.

За второе место – «4», члены экипажа, который был в «утешительном» заплыве, сдают тетради учителю. Оценка на следующем уроке.

Литература.

1. Газета «Математика» (приложение к «Первое сентября»), №15/2004 г., №36/2001 г., №14/2006 г., №5/1996 г., №10/1997 г.

2. Журнал «Математика в школе» №5,9/2003 г., №6/2003 г.

3. Избранные вопросы математики, факультативный курс 9 класс, М., «Просвещение», 1979 г.

4. И.С. Петраков, Математические кружки в 8-10 классах, М., «Просвещение», 1987 г.

5. В.С. Лютикас, Факультативный курс по математике. Теория вероятностей, 9-11 классы, М., «Просвещение», 1998 г.

6. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, Элементы статистики и теории вероятностей, Алгебра – 7-9 классы, М., «Просвещение», 2005 г.

7. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.