Конспект урока «Площадь криволинейной трапеции» по математике

Конспект урока

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Цели:

1. Воспитательные:

   1. воспитание положительного отношения к знаниям;

   2. воспитание дисциплинированности;

   3. воспитание эстетических взглядов.

2. Развивающие:

   1. развитие психических качеств студентов: мышления, умений применять полученные знания на практике;

   2. развитие познавательных умений (выделять главное, вести конспект);

   3. развитие общетрудовых и политехнических умений;

   4. развитие умений учебного труда (читать, писать);

   5. развитие воли, самостоятельности).

3. Образовательные:

   1. закрепить навыки нахождения определенного интеграла;

   2. добиться усвоения студентами понятия «криволинейная трапеция»;

   3. обеспечить усвоение студентами различных способов нахождения площади криволинейной трапеции;

   4. отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

Тип: комбинированный

Оборудование: Компьютерный класс, интерактивная доска, проектор, карточки-задания.

Демонстрационный материал: презентация PowerPoint, файлы для работы с интерактивной доской (ИД).

План урока

I. Самоопределение к деятельности (оргмомент) - 3 мин.

II. Актуализация опорных знаний - 10 мин.

III. «Открытие» новых знаний - 10 мин.

IV. Применение знаний, формирование умений - 20 мин.

V. Подведение итогов, домашнее задание - 2 мин.

ХОД УРОКА:

I. Самоопределение к деятельности

Здравствуйте, садитесь. Дежурный, кто сегодня отсутствует?

Тема нашего урока «Площадь криволинейной трапеции».

Вы знакомы с понятием «определенный интеграл» и научились его вычислять.

Сегодня мы сформулируем понятие «криволинейная трапеция» и научимся вычислять ее площадь с помощью определенного интеграла.

II. Актуализация опорных знаний

Вспомним материал предыдущих уроков по теме «Определенный интеграл».

Для проведения контроля нам необходимо назначить консультанта. Есть желающие? Это будет Брылёв Алексей. Сегодня ты выставишь оценки за компьютерное тестирование. Напоминаю, оценка «5» ставится за 90-100% правильных ответов, «4» - 70-90%, «3» - 60-70%, «3» - 50-70%, будем надеется, что меньше 50% никто не наберет.

При работе за компьютером необходимо помнить правила по технике безопасности.

Кто желает пройти компьютерное тестирование? – 10 человек.

Пока ребята отвечают на вопросы теста, мы ответим на вопросы у доски.

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница.

А теперь примени ее для нахождения определенного интеграла.

(14.ехе, задание 1, пример 1)

2. Что такое определенный интеграл?

Здесь тоже фигурирует формула Ньютона-Лейбница. Найди определенный интеграл по этой формуле. (14.ехе, задание 1, пример 2)

Формула Ньютона-Лейбница… Откуда взялась эта формула. Вам было дано домашнее задание найти историческую справку. Кто нам об этом расскажет? Это будет Болдырев Андрей. (Историческая справка, слайд 1)

(Консультант Брылев проходит по компьютерам и выставляет оценки студентам).

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

III. «Открытие» новых знаний

1) И так, определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительной функции f(х), осью абсцисс и прямыми х=а, х=в. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Сегодня мы узнаем, что такое криволинейная трапеция и рассмотрим различные способы нахождения ее площади с помощью определенного интеграла.

Запишите в тетрадях тему урока: «Площадь криволинейной трапеции» (слайд 2).

2) Что же такое криволинейная трапеция?

Пусть на отрезке [a; b] оси абсцисс определена функция у=f(х)>0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 3). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение.

3) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции равна: (слайд 4), где пределы интегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваем трапецию, а подинтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху.

4) Рассмотрим следующие фигуры.

а) (слайд 5). Фигура ограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a, в] и прямыми х=а, х=в. Заштрихуйте фигуру, ограниченную этими линиями.

Как можно определить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [a, в]).

Но эта фигура находится «ниже» оси Ох и вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади.

Следовательно, площадь равна: (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 6)

б) (слайд 7). Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).

На каком отрезке рассматривается данная фигура?

Как найти концы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек функции надо приравнять).

А как вычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур с площадями S₁ и S₂).

Следовательно, S=S₁–S₂ (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 8)

в) (слайд 9). Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций g(x) и f(x) и осью абсцисс.

В чем особенность этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [А,0], другая – графиком g(x) на отрезке[0, В]).

Следовательно, S=S₁+S₂ (прописать).

г) Заштрихуем фигуру, ограниченную графиком функции f(x). Эта фигура состоит из 4-х одинаковых фигур. Если проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [0; A] и умножить на 4, то получим искомую площадь.

Следовательно, S = 4S₁ (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренных фигур. (слайд 10)

IV. Применение знаний, формирование умений

1) А теперь применим полученные знания на практике.

Решим задачу вместе со мной. (15.ехе, практика, задача 2, в конце привести к общему знаменателю и сократить – 9/2). Для определения площади фигуры построим эту фигуру.

Найдем точки, в которых графики пересекаются, для этого приравняем функции, получаем уравнение х² – 3х = 0. Отсюда следует, что х₁ = 0, х₁ =3.

Графиком функции у = х² – 2х является парабола, ветви вверх, пересекает ось Ох в точках 0 и 2. График функции у = х – прямая. Построим эти графики. Получили ограниченную этими графиками фигуру. Так как сверху фигура ограничена графиком у = х, снизу - у = х² – 2х, то искомая площадь вычисляется как разность интегралов: , по свойству интегралов получаем: . Приведем подобные, получаем подинтегральную функцию - х² + 3х. Находим первообразную: - х³ /3 + 3х² /2.

Подставим верхний предел интегрирования:

(прописать)

Я молодец!

2) Посмотрим, как получится у вас.

а) (15.ехе, практика, задача 1 – 4/3) Прочитать условие. Кто желает решить задачу у доски?

б) (16.ехе, практика, задача 3 – 2) Прочитать условие. Кто желает решить задачу у доски?

3) Сегодня мы познакомились с понятием «криволинейная трапеция», узнали, как можно вычислять ее площадь.

А теперь посмотрим, как вы разобрались в этом материале (Самостоятельная работа)

V. Подведение итогов, домашнее задание

Собрать выполненные самостоятельные работы.

Кто выполнял задание на «5», кто – на «4», кто – на «3»? Оценки за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке, а сегодня на уроке получили оценки:

а) тест – 10 чел.

б) за ответ у доски – 3 чел.

в) за решение примеров - 2 чел.

Д/З: гл.13, §1, №12,13

Дополнительное задание:

Найти в Интернет примеры практического применения вычисления площади криволинейной трапеции.