Конспект урока «Расстояние от точки до плоскости» по математике для 11 класса

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с. Елшанка

Воскресенского района Саратовской области»

Конспект урока математики

в 10 классе

«Расстояние от точки до плоскости»

Подготовила

учитель математики

Твёрдая Ирина Александровна

с. Елшанка

2013 год

Тема: расстояние от точки до плоскости.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Цели урока.

Дидактические:

– обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

– продолжить формирование умений и навыков по решению задач;

– стимулировать учащихся к овладению решением задач;

– проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие:

– совершенствовать, развивать умения и навыки по решению задач на нахождение расстояния от точки до плоскости;

– развивать логическое мышление, учить анализировать и обобщать;

– продолжить работу по развитию математической речи и памяти.

Воспитательные:

– продолжить формирование навыков эстетического оформления записей в тетради и выполнения чертежей;

– приучать к умению общаться и выслушивать других;

– воспитание сознательной дисциплины;

– развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Этапы урока и их содержание

Приложение №1.

Задача №143

Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см .

Решение.

Опустим перпендикуляр МО к плоскости (АВС).

1. МО (АВС).

2. ∆ АОМ = ∆ ВОМ = ∆ СОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету) АО = ВО = СО, т.е. О – центр описанной около ∆ АВС окружности.

3. R = , R = = 2 см.

4. ∆ МОС – прямоугольный, МО = =2 см.

Ответ: 2 см .

Задача № 150.

Дано: ABCD – прямоугольник, АК (ABC),

KD = 6 см., КВ = 7 см., КС = 9 см.

Найдите ρ (К, (АВС)), ρ (АК, CD).

Решение.

1. ρ (К, (АВС)) = АК.

2. АК (ABC)

3. ∆ КВС – прямоугольный. СВ = см.

4. ∆ АКД – прямоугольный. АК = см.

5. ρ (АК, CD) = AD; AD = см.

Ответ: 2 см.; см.

Приложение № 2.

Понятие

Приложение № 3.

Тест по теме «Расстояние от точки до плоскости».

1.Отрезок АН называется__перпендикуляром___________________,

проведенным из точки А к плоскости , если прямая АН и пересекает ее в точке Н. Точка Н – основание перпендикуляра______________________

2.Отрезок АМ называется __наклонной___________________________,

проведенной из точки А к плоскости , если прямая АМ не перпендикулярна плоскости и пересекает ее в точке М. Точка М – ___основание наклонной_

3. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, __меньше__________любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

4. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости называется _расстоянием от точки А к плоскости_________________

5. Через точку М проведены прямые c и d , пересекающие плоскость в точках С и Д, причем прямая с . Тогда МС – _перпендикуляр______, МД – _____наклонная__________, СД – __проекция наклонной____________

6. Расстояние от точки А до плоскости равно 3 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости равно _____3 см________.

7. Установите соответствие по рисунку.

1. АС А. Проекция наклонной.

2. СВ В. Перпендикуляр.

3. АВ С. Наклонная.

Ответ: 1 __С__ 2 __В___ 3 ___А___

8. Из точки А к плоскости проведены наклонная АВ длиной 5 см. Найдите ее проекцию, если расстояние от точки до плоскости 3 см.

Ответ: _4 см.____

9. Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние _____расстояние от точки одной плоскости до другой_____________

10. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют __длину их общего перпендикуляра___________________________

11. Прямая NM параллельна плоскости . Расстоянием от точки N до плоскости равно 6 см. Расстояние от точки М до плоскости равно _ 6 см__

12. Точка В лежит в плоскости , а точка А находится от плоскости на расстоянии 8 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости .

Ответ: 4 см.

Приложение № 4

Карточка № 1

Дано:

АВСD – квадрат, ОК (АВС),

ОК=4см, DС= 3см

Найти: АК, ВК, СК, DК.

Решение:

1) ВDАС

DC = ОС² = == 9 ОС = 3 см.

2) ∆ КОС – прямоугольный (КО(АВС)) КС== = 5см.

3) АК = ВК = СК = DК = 5 см. (равные наклонные равных проекций, ОА = ОD = ОС = АО, т.к. АВСD – квадрат, АС = ВD, О – точка пересечения диагоналей).

Ответ: АК = ВК = СК = DК = 5 см.

Карточка № 2

Пользуясь рисунком, на котором изображен квадрат MNKF, найдите расстояние от точки Е до плоскости (MNKF), если MN =4 см., EF = 12 см., EN (MNKF).

Решение:

1. NF = = = cм.

2. EN (MNKF) EN NF ∆ENF – прямоугольный.

EN = ===см.

Ответ: EN = см.

Карточка № 3

Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены наклонные АВ и АС под углом 30⁰ к этой плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120⁰.

Найдите ВС.

Решение:

1. Из ∆ АОВ: = tg30⁰, ОВ = d·

2. ОВ = ОС.

3. Из ∆ ВОС по теореме косинусов:

ВС² = ОВ² + ОС² – 2 · ОВ · ОС · cos120⁰,

ВС² = 3d² + 3d² – 2 · d·· d··,

ВС² = 9d², ВС = 3d.

Ответ: ВС = 3d.

Приложение № 5

С3 из варианта №34 ЕГЭ 2004г

Все грани призмы АВСDA1B1C1D1 – равные ромбы со стороной, равной 4. Углы BAD, BAA1 и DAA1 равны 60° каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.

Решение задачи:

Призма эта – параллелепипед, так как все грани являются параллелограммами. Докажем, что DO – искомое расстояние.

∆BAD - равнобедренный с углом при вершине 60°, следовательно, углы при основании тоже по 60°; получаем, что ∆ BAD – равносторонний, BD = 4.

Аналогично, рассмотрев треугольники ∆A1AD и ∆A1AB, приходим к выводу:

DA1 = 4, A1B = 4.

BA1D1C – параллелограмм (BC || A1D1 и BC = A1D1), в котором BD1 и A1C – диагонали, следовательно, они точкой пересечения делятся пополам.

∆CDA1 – равнобедренный (DA1 = 4; CD = 4); DO – медиана и, следовательно, высота, т.е. DO A1C , аналогично в ∆ BDD1 DO BD1

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости DO (BCD1) и DO – искомое расстояние.

Длину отрезка DO находим как катет прямоугольного треугольника ∆DOB с гипотенузой DB = 4 и катетом BO. Находим BO как радиус окружности, описанной около квадрата

BA1D1C со стороной а = 4 по формуле R = , предварительно доказав, что параллелограмм BA1D1C является квадратом (BO=OD1=OA1=OC, как проекции равных наклонных DB=DD1=DA1=DC = 4, и стороны параллелограмма BA1=A1D1=D1C=BC= 4).

∆DOB: DOB = 90°, DB = 4, BO = по теореме Пифагора DO = Ответ:

Приложение № 6

Показать на рисунке расстояние от данной точки до заданной плоскости.

Приложение № 7

Карточка №1

Проделайте предложенные операции, впишите необходимые данные и сделайте вывод.

а) Поставьте на плоскости α точку О, обозначая кратчайшее расстояние от точки А до плоскости.

АО_________плоскости α; точка О - _______________ перпендикуляра.

б) Обозначьте другие точки В, С, D, К. Сравните длину прямых АВ, АС, АК, АD с длиной АО.

АВ ______ АО, АС ______АО,

АК _______АО, АD_______АО.

Прямые АВ, АС, АК, АD и т.д. называются наклонными, их из точки А можно провести _____

Точки В, С, К, D – основания наклонных.

ВО – проекция наклонной АВ;

СО - ___________________________________________________;

DО - ___________________________________________________;

КО - ___________________________________________________.

Карточка №2

Закончите фразы в предложенном рассуждении, чтобы оно получилось верным:

а) Расстояние между параллельными плоскостями - это расстояние от любой точки одной из плоскостей до другой плоскости. Рассмотрите рисунок. Расстояние между выделенными плоскостями – это отрезки ________________________________.

б) Расстояние от точки К до плоскости DD₁C₁C: ______________________________________.

в) Расстояние от точки А до плоскости А₁В₁С₁D₁: ______________________________________________________________.

Приложение № 8

Задача № 1

Расстояние от точки до плоскости треугольника равно а см., а до каждой из его сторон b см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:

1. т.к. SA MN, SC MP и SB NP (по условию) и SA=SC=SB= а (см), то т. О – точка пересечения серединных перпендикуляров ∆ MNP.

2. SOMNP, следовательно, SOАО, SOОС и SOОВ (по _________

_________________________________)

∆ SOА = ∆ SOВ = ∆ SOС (по ___________________________________)

3. АО = .

Ответ: .

Задача № 2

Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость α углы 30⁰. Угол между наклонными равен 90⁰. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от т. М до плоскости α равно см.

Дано: МВА = МСА = 30⁰,

ВМС = 90⁰,

МАα, МА = см.
Решение:

1. ∆АМВ = ∆СМА (по катету и острому углу: катет МА – общий, МВА= МСА по условию) Значит, ВМ = МС = 2см. (по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰)

2. ∆ВМС – прямоугольный, равнобедренный: ВМС = 90^0, ВМ = МС. Значит, ВС = ==4 см.

Ответ: 4 см.

Задача № 3(Из ЕГЭ)

Боковое ребро МА пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости основания и равно 13, ВАС = 90⁰, АВ = 39 и АС = 52. Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВСМ.

Решение:

Если через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости ВСМ, то перпендикуляр, проведенный через точку А к линии пересечения этих плоскостей, будет перпендикуляром и к плоскости ВСМ.

Пусть АН ВС, тогда по теореме о трех перпендикулярах МН ВС. Следовательно, ВСАМН и МВСАМН. Проведем в плоскости АМН перпендикуляр АК к прямой МН. Тогда АК ВСМ. Длина отрезка АК равна расстоянию от точки А до плоскости ВСМ.

В треугольнике АВС: ВС = = 65.

Поскольку 2S_АВС= 39 · 52 = 65 · АН, значит, АН = .

В треугольнике АМН: МН = .

Поскольку 2S_АМН = 13·АК, то АК = =12.

Ответ: 12.

Список использованной литературы.

1. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.. Геометрия. 10-11 класс. М.: Просвещение, 2009 г.

2. Т.Н. Алешина. Обучающие и проверочные задания. Геометрия 10 класс. М: Интеллект – Центр. 1998г.