Презентация "Гидродинамика" – проект, доклад

Гидродинамика

Гидродинамикой– называется раздел гидравлики изучающий движение жидкости, а также взаимодействие между жидкостью и твердыми телами при их относительном движении. Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) или не установившимся (не стационарным)

Установившееся движение

Установившимся – называется движение жидкости неизменное во времени, при котором давление и скорость являются функциями только координат, но не зависят от времени.

Неустановившееся движение

Неустановившимся – называется движение жидкости, все или некоторые характеристики которого изменяются во времени, т. е. давление и скорость зависят как от координат , так и от времени.

Траектории частиц

Поэтому для рассмотрения картины течения, возникающей в каждый данный момент времени, вводится понятие линии тока. Линией тока – называется кривая в каждой точке который вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

Трубка тока

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая – трубкой тока. Часть потока заключается внутри тока, называется – элементарной струйкой. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.

Методы изучения движения жидкости

В гидромеханике существуют два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера. Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае движение определяется положением частицы жидкости в функции от времени t. Движение частицы будет определено, если точно определить координаты x, y, и z в заданный момент времени t, что дает возможность построить траекторию движения частицы жидкости. Величины x, y, и z являются переменными Лагранжа, а их изменения за время dt позволяет получить значение dx, dy и dz, а затем путь

Метод Лагранжа

Проекции скорости на координатные оси определяются зависимостями , , а местная скорость Метод Лагранжа сводится к определению семейства траекторий движения частиц движущейся жидкости. Учитывая, что для установления движения линии тока совпадают с траекторией движущихся частиц, можно записать:

=

Метод Эйлера

Метод Эйлера основан на изучении поля скоростей, под которым понимается значение величины и скоростей во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью. Переменными Эйлера являются значения скоростей , которые определяются в зависимости от координат точек пространства и времени, т. е.

Понятие расхода

Расходом Q называется количество жидкости, протекающее через сечение потока в единицу времени.

или

Средняя скорость

Средней скоростью называется одинаковая по всему сечению потока скорость, при которой расход равен действительному

Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости

Уравнение Эйлера которое выражают условия равновесия жидкости, уже были нами получены: Силы инерции приведенные к единицы массы, соответственно будут:

;

Уравнение Эйлера

Прибавляя силы инерции, к действующим силам получим:

Так как ux, uy, uz являются сложными функциями, зависящими от переменных x, y, z и t, то по правилу дифференцирования получим уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости в развернутом виде

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности или сплошности жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что внутри движущейся жидкости не может произойти разрывов, т. е. образования пустот. Уравнение неразрывности может быть представлено в дифференциальной форме для частицы жидкости и элементарной струйки, а также в конечных величинах для потока жидкости.

Уравнение неразрывности в дифференциальной форме

Если пренебречь сжимаемостью жидкости, то ее плотность в любом сечении будет одинакова (=const) и не будет зависеть от времени Или в краткой форме div u=0

Для элементарной струйки

При установившемся движении уравнение неразрывности можно вывести исходя из свойств элементарной струйки, в соответствии с которым жидкость из струйки не вытекает в стороны и не притекает в нее извне, но в то же время местные скорости разные по длине струйки. Отсюда следует, что количество жидкости, притекающей к струйке в начальном сечении и вытекающей из нее в конечном сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется т. е. элементарные расходы в единицу времени равны:

Для потока жидкости

Для потока жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид: Т. е. отношение средних скоростей в сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей.

Уравнения Навье - Стокса

В реальной жидкости благодаря наличию трения появляются касательные напряжения. Ввиду этого напряжения pn, действующие на поверхностную площадку, будут располагаться произвольно к выбранной площадке, а не обязательно по нормали к ней. Поэтому в отличие от идеальной жидкости на частицу реальной жидкости кроме сил инерции, силы тяжести и поверхностных сил давления будут действовать еще и поверхностные силы трения.

Уравнения Навье-Стокса

В векторном виде уравнение будет выглядеть так

Энергия элементарной струйки

Известно, что механическая энергия любого тела характеризуется двумя величинами: кинетической и потенциальной энергиями. Так, если тело или частица имеет массу m и движется со скоростью u, то ее кинетическая энергия равна

потенциальная энергия частицы m, поднятой на высоту z Кроме того, если масса частицы жидкости m занимает объем V и находится под давлением р, то это тело еще обладает потенциальной энергией давления

Элементарная струйка

На основании изложенного полная механическая энергия элементарной струйки (частицы), имеющей массу m и некоторую скорость u, определится таким образом:

Так как

Удельная энергия струйки, т. е. энергия, отнесенная к единице веса, определится делением всех членов последнего уравнения на вес элементарной струйки — mg:

Уравнение Бернулли для реальной струйки

Вдоль элементарной струйки удельные кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, но их сумма остается постоянной. При движении вязкой жидкости суммарная удельная энергия движущийся жидкости вдоль струйки убывает в силу различных гидравлических сопротивлений. Следовательно, для двух сечений элементарной струйки вязкой жидкости, находящейся в установившемся движении:

Чтобы получить равенство левой и правой части, необходимо в правой части добавить дополнительный член hz, обозначающий затрату удельной энергии на преодоление сопротивлений при движении реальной вязкой жидкости в пределах между первым и вторым сечениями. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Рассмотрим распределение давления. В плоскости перпендикулярной направлению движения. Гидродинамическое давление распределяется по закону гидростатики. В связи с этим справедливо условие: т.е. сумма отметки z и пьезометрической высоты во всех точках сечения потока остается одинаковой, хотя меняется для различных сечений.

Для наиболее распространенных случаев движения жидкости значения α следующее: при ламинарном движении в круглой трубе α = 2, при турбулентном – зависит от режима и принимает значение α = 1,1─1,3. Обычно α определяют опытным путем. С учетом вышесказанного, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости может быть записано в виде:

где vср1, и vср2 – средние скорости в сечениях 1 и 2;

h∑1-2 – потери энергии на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2.

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Трубка Пито и пьезометр

Практическое применение уравнения Бернулли

На основании уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, такие, как, расходомер Вентури, водоструйный насос, карбюратор, эжектор и др.

Расходомер Вентури

V1S1=V2S2

Водоструйный насос

Карбюратор

Контрольные вопросы

Закон неразрывности потока, его смысл? Повышается или понижается линия энергии в месте прохождения жидкости через насос? Когда линия энергии и пьезометрическая линия параллельны? Когда в направлении движения жидкости эти линии сближаются и когда удаляются одна от другой? Может ли быть отрицательным гидравлический уклон, пьезометрический уклон? Как распределяется давление по живому сечению прямолинейного равномерного потока? В чем заключается физический и математический смысл корректива осреднения скорости? Может ли равномерное движение быть неустановившимся, а неравномерное — установившимся? Каковы размерности и физический смысл величин Х, У и Z, входящих в уравнение Эйлера? Какими операциями при выводе уравнения Бернулли обусловливается применимость его к расчету только установившихся потоков? К каким выражениям приводится уравнение Бернулли в случаях: а) неподвижной жидкости; б) равномерного движения без местных сопротивлений;