Презентация "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости" – проект, доклад

Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости

Признаки перпендикулярности Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90° Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащих плоскости Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

Прямая l перпендикулярна плоскости Г если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым (а ∩b), принадлежащих плоскости

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой (а, b, c, k) принадлежащей плоскости Г

Если плоскость (Δ) проходит через перпендикуляр к другой плоскости (l), то она перпендикулярна этой плоскости (ΔГ )

Проекции прямого угла Теорема №1

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой угол

Прямая, перпендикулярная к плоскости общего положения. Теорема №2

l(l1l2)Σ(f ∩h)l1 h1  l2 f2

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали

Основные задачи

Задача. Опустить перпендикуляр l(l1 l2) из точки А на плоскость общего положения Σ(а∩b).

Опустить перпендикуляр l(l1 l2) из точки А на плоскость общего положения Σ(а∩b)

1. В плоскости Σ(а∩b) проводим горизонталь h(h1 h2).

2. Согласно теореме №2 из А1 проводим горизонтальную проекцию l1 перпендикуляра l.

l1 h1

3. В плоскости Σ(а∩b) проводим фронталь f(f1 f2).

4. Согласно теореме №2 из А2 проводим фронтальную проекцию l2 перпендикуляра l.

l2 f2

l1 h1  l2 f2 l(l1l2) Σ(f ∩h)

Задача. Через точку А провести плоскость Г перпендикулярную прямой а(а1 а2) общего положения.

Через точку А провести плоскость Г перпендикулярную прямой а(а1 а2)

Плоскость Г зададим горизонталью и фронталью, перпендикулярными прямой а. 1. Через точку А проводим горизонталь h(h1 h2) , перпендикулярную прямой а(а1 а2) общего положения:

h1а1

2. Через точку А проводим фронталь f(f1 f2) , перпендикулярную прямой а(а1 а2) общего положения.

f2а2

h1а1  f2а2  Г(f ∩h)а(а1а2)

Задачи

Задача. Построить прямоугольник ABCD.

Построение фронтальной проекции прямоугольника ABCD

У прямоугольника стороны равны и параллельны (ADIIBC, DCIIAB).

Построение горизонтальной проекции прямоугольника ABCD

Прямой угол проецируется на П1 без искажения, когда его сторона параллельна П1 (является горизонталью).

По линии связи по принадлежности находим горизонтальную проекцию А1 вершины А.

У параллельных прямых соответствующие проекции параллельны (A1D1IIB1C1, D1C1IIA1B1) По линии связи по принадлежности находим горизонтальную проекцию D1 вершины D.

Прямоугольник ABCD

Задача. Построить равнобедренный треугольник ABC с основанием AB и вершиной С на прямой а.

Нахождение середины основания треугольника ABC

Высота СD равнобедренного треугольника ABC делит основание AB на две равные части IADI=IDBI.

Построение множества перпендикуляров из точки D к АВ

Множество перпендикуляров из точки D к АВ образуют фронтально проецирующую плоскость Ф. Прямой угол проецируется на П2 без искажения, когда его сторона параллельна П2 (является фронталью).

Построение вершины C треугольника ABC

Вершина С принадлежит прямой а. Находим С на пересечении плоскости Ф и прямой а.

Построение проекций треугольника ABC

Определив вершину С, достраиваем проекции искомого треугольника.

Равнобедренный треугольник ABC

Задача. Из вершины B треугольника ABC восставить перпендикуляр к его плоскости и отложить на нем отрезок длиной 30 мм.

Построение горизонтали в плоскости Σ(ABC)

Если прямая а перпендикулярна плоскости Σ в пространстве, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (а1  h1), а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (а2  f2), принадлежащих плоскости Σ. Находим горизонталь h(h1 h2) в плоскости Σ.

а Σ(ABC)  а1 h1  а2f2

Построение фронтали в плоскости Σ(ABC)

Строим фронталь f(f1 f2) в плоскости Σ. Из А1 проводим f1 перпендикулярно вертикальной линии связи. Фиксируем горизонтальную проекцию 21 точки 2 пересечения f1 с В1С1. По линии связи находим фронтальную проекцию 22 точки 2. Из А2 через 22 проводим f2

Построение фронтальной проекции (a2) перпендикуляра а

Строим фронтальную проекцию прямой а. Через проекцию В2 точки В проводим фронтальную проекцию а2 прямой а:

а2  f2

Построение горизонтальной проекции (a1) перпендикуляра а

Строим горизонтальную проекцию прямой а. Из проекции В1 точки В проводим горизонтальную проекцию а1 прямой а:

а1  h1

Отрезок длиной 30 мм на перпендикуляре а(a1a2)

На прямой а фиксируем произвольную точку D(D1D2). Измеряем разность высот ΔZ концов отрезка [BD], чтобы определить его натуральную величину IBDI.

Для определения натуральной величины IDBI отрезка [DB] строим прямоугольный треугольник B1D1D0 , катет которого [D1D0] равен разности высот ΔZ концов отрезка DB. Длина гипотенузы IB1 D0I [DB], равна натуральной величине IDBI отрезка [DB].

На натуральной величине IDBI отрезка [DB] находим точку Е(Е1Е2), отстоящую от B на 30 мм. Отрезок [BЕ]  искомый.

Отрезок [BЕ] перпендикуляра а(a1a2) длиной 30 мм

Задача. Построить множество точек, равноудаленных от концов отрезка [АВ]. Записать анализ. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка [АВ], и перпендикулярная отрезку [AB] : IАСI=IВСI, С Σ(h ∩f)  АВ, h1  А1В1  f2  А2В2.

Множество точек, равноудаленных от концов отрезка [АВ]

Делим AB на две равные части: IАСI=IВСI.

Прямой угол проецируется на П1 без искажения, когда его сторона параллельна П1 (является горизонталью). Из точки С проводим горизонталь h1  А1В1.

Множество точек, равноудаленных от концов отрезка [АВ] есть плоскость Σ(h ∩ f)  АВ

Прямой угол проецируется на П2 без искажения, когда его сторона параллельна П2 (является фронталью). Из проекции С2 точки С проводим фронталь f2  А2В1. Множество точек пространства, равноудаленных от двух точек А и В, есть плоскость СΣ(h ∩ f)  АВ, IАСI=IВСI

Задача. Через прямую а(а1 а2) провести плоскость Σ перпендикулярную к плоскости Г(ABC) общего положения. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Плоскость Σ зададим двумя пересекающимися прямыми: заданной а и прямой b, перпендикулярной плоскости Г(ABC).

Построение горизонтальной проекции перпендикуляра к плоскости Г(ABC)

Находим горизонталь h(h1 h2) в плоскости Г. Строим горизонтальную проекцию b1 прямой b. Через проекцию точки 3, принадлежащую прямой а, проводим горизонтальную проекцию b1 прямой b, перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали: b∩а=3

b1  h1

Построение фронтальной проекции перпендикуляра к плоскости Г(ABC)

Находим фронталь f(f1 f2) в плоскости Г. Строим фронтальную проекцию b2 прямой b. Через проекцию точки 3, принадлежащую прямой а, проводим фронтальную проекцию b2 прямой b, перпендикулярно фронтальной проекции фронтали: b∩а=3

b2  f2

Плоскость Σ перпендикулярная плоскости Г(ABC) общего положения

Плоскость Σ проходит через перпендикуляр b к плоскости Г. Следовательно плоскость Σ перпендикулярна плоскости Г.

b1 h1  b2 f2  b(b1b2)  Г(f ∩h)

Плоскость Σ(а∩b) перпендикулярная плоскости Г(ABC) общего положения

Содержание