Презентация "Непрерывная случайная величина (НСВ)" – проект, доклад

Непрерывная случайная величина (НСВ)

Определение. Непрерывной СВ называется та-кая СВ, которая в результате испытаний может

принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала.

Так как любой интервал содержит бесконечное множество точек, то НСВ принимает бесконеч-

ное несчетное множество значений. Поэтому перечислить все значения НСВ невозможно.

Способы задания НСВ

НСВ задается двумя способами:

1. С помощью интегральной функции распре-деления (или функции распределения) F(x).

2. С помощью дифференциальной функции рас-пределения (или плотности распределения) f(x).

Определение. Функцией распределения СВ Х называется такая функция F(x), которая для лю-

бого числа х определяет вероятность того, что СВ Х примет значения Х < x:

F(x) = P(Х < x).

Например, при х = a F(a) = P(Х < a)

Свойства функции распределения F(x)

x

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, т. к. 0 ≤ P ≤ 1.

2. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).

3. Следствие из 2-го свойства:

P(X = x0) = 0, отсюда, P(X = a) = P(X = b) = 0. Поэтому,

P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = =P(a < X ≤ b) = P(a < X < b).

4. F(x) – неубывающая функция, т.е.

при x2 > x1 F(x2) ≥ F(x1)

5. Если СВ Х задана на всей числовой прямой, то

lim F(x) = 0, x -∞ lim F(x) =1. x ∞

6. F(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

Пример 1. Функция распределения СВ Х:

0 при х ≤ 2, F(x) = a(x – 2)2 при 2 < x ≤ 4,

1 при x ≥ 4.

Найти: a) значение параметра a;

b) P(2 ≤ X ≤ 3).

Решение. По определению непрерывной функции:

lim F(x) = x 2-0 x 2+0 F(2) = 0 lim F(x) x 4-0 = lim F(x) = x 4+0 F(4) = 1

F(4) = a(4 – 2)2= 1, отсюда a =

P(2 ≤ X ≤ 3) = F(3) – F(2) =

= (3 – 2)2 - *0 = .

0 F(x) 2 4 1

Замечание. Графиком функции распределения ДСВ Х является разрывная ступенчатая (кусочно- постоянная) линия. При каждом

новом значении СВ Х функция F(x) испытывает скачок на величину, равную вероятности pi этого значения xi. Сумма величин всех скачков

функции F(x) равна 1.

Дифференциальная функция распределения НСВ(плотность распределения вероятностей) f(x)

Пусть НСВ Х принимает значения из элемен-тарного отрезка x, x +∆x , а функция ее рас-пределения F(x) непрерывно дифференциру-ема.

Тогда P(x ≤ X ≤ x +∆x)= F(x +∆x) – F(x)

Поделим на ∆x:

и

перейдем к пределу при ∆x 0.

Определение. Предел отношения вероятности попадания НСВ Х в элементарный промежуток

x, x +∆x к длине этого промежутка ∆x при

∆x 0 называется плотностью распределения

вероятностей НСВ Х и обозначается f(x):

f(x) = ∆x 0 =F′(x)

Отсюда следует, что F′(x) = f(x) .

В свою очередь, F(x) – первообразная к f(x).

Геометрически P(x ≤ X ≤ x +∆x) есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой

f(x), отрезком x, x +∆x , вертикальными прямы-ми, проходящими через концы этого отрезка, и осью Ох.

Свойства плотности распределения f(x)

1. f(x) ≥ 0, т.к. F(x) – неубывающая,

то F′(x) ≥ 0. 2. F(x) =∫f(x)dx.

3. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx.

b a 4. ∫ f(x)dx = 1. ∞ -∞

Числовые характеристики НСВ

К ним относятся M(X), D(X), σ(X).

Математическое ожидание:

M(X) = ∫ xf(x)dx. Дисперсия: D(X) = ∫ x2f(x)dx – (M(X))2.

Среднее квадратическое отклонение:

σ(X) =

Пример 2. Плотность распределения вероятностей СВ Х:

0 при х ≤ 0,

a(4x – x ) при 0 < х ≤ 2,

0 при х > 2.

Определить: 1) коэффициент а;

2) функцию распределения СВ Х;

3) матем. ожидание и дисперсию;

4) вероятность попадания СВ Х в

интервал ( 0; 1). Решение.

1) По свойству плотности распределения:

Найдем: 3

= + 0 = а(8 – 4) = 1. Отсюда 4а = 1 или а = = 0,25.

2) Функция распределения:

F(x) = При х ≤ 0 F(x) =

при 0 < х ≤ 2 F(x) = = 0 + ; при х > 2 F(x) =

= 0,25·(2·22 – 24:4) = 0,25·4 = 1.

Тогда интегральная функция распределения:

при 0 < х ≤ 2, 1 при х > 2. 3) Найдем М(Х) и D(X): М(Х) = + 0 =

D(X) = – 0,4422.

4) Вероятность попадания СВ Х в интервал (0;1):

? 0 < ? < 1 = 0 1 ? ? ??=

0 1 1 4 4?− ? 3 ??=

= ? 2 2 − ? 4 16 = 1 2 − 1 16 = 7 16 .

Пример 3. Стрелок должен произвести 3 выстрела.

Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Определить интегральную функцию

распределения дискретной СВ Х – числа попаданий и построить ее график.

Дано: n = 3, p = 0,7, q = 0,3 F(x) = ? P(X = 0) = P3,0 = C · 0,7 ·0,3 = 0,027; P(X = 1) = P3,1= C · = 0,189; P(X = 2) = P3,2=

? 3 2 ∙ 0,7 2 ∙ 0,3 1 =0,441;

? ?=3 = ? 3,3 =? 3 3 ∙ 0,7 3 ∙ 0,3 0 =0,343;

Σ Pi =0,027 + 0,189 + 0,441 +0,343 = 1.

Найдем интегральную функцию распределения F(x) ДСВ Х.

При x ≤ 0 F(x) = P(X< x) = 0;

при 0< x ≤ 1 F(x) = P(X< x) = P(X = 0) = 0,027; при 1< x ≤ 2 F(x) = P(X< x) =P(X= 0) +P(X= 1)= = 0,027 + 0,189 = 0,216; при 2< x ≤ 3 F(x) = P(X< x) =P(X= 0)+P(X= 1) + + P(X= 2) = 0,216+ 0,441 = 0,657;

при x > 3 F(x)=P(X= 0)+P(X=1)+P(X= 2) + P(X=3)=

= 0,657 + 0,343 = 1. Таким образом, F(x)= 0 при x ≤ 0; 0,027 при 0< x ≤ 1; 0,216 при 1< x ≤ 2; 0,657 при 2< x ≤ 3; 1 при x > 3.

Построим график интегральной функции распределения F(x). Графиком является разрывная ступенчатая (кусочно-постоянная) линия.

0,216 0,657