» » » МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1

Презентация на тему МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1


Презентацию на тему МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1 можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет презентации : Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 58 слайдов.

Слайды презентации

Слайд 1: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 1

(типовые задания С3) - 1

Методы решения неравенств с одной переменной

Методическая разработка Амачкиной А.А. МОУ СОШ №12, г. Балашиха, Московской области.

Prezentacii.com
Слайд 2: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 2

1. Алгебраические методы решения

Если исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.

Слайд 3: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 3

1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем

Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма. Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований

Слайд 4: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 4

В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход решения разбивают на несколько логически возможных случаев.

Слайд 5: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 5

Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Так как x2 - 6x + 9 = (x-3)2 , то область допустимых значений переменной x определяется условиями:

Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству

Слайд 6: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 6

при x = 2 или x = 4 . Значит, с учетом полученных ранее ограничений, x = 2 – решение, так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.

Слайд 7: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 7

На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.

Замечание. При решении неравенства использован метод интервалов. С учетом полученных ранее ограничений записываем ответ.

Слайд 8: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 8

Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:

Слайд 9: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 9

Неравенства, содержащие иррациональные выражения Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств, в которых используют возведение в натуральную степень обеих частей неравенства.

Слайд 12: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 12

Пример 3. Решите неравенство

Решение. Если 2 - x > 0 или 2 - x = 0 , то исходное неравенство не выполняется, так как

Пусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 - x > 0 равносильное неравенство.

Слайд 13: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 13

На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем

Слайд 14: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 14

Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство

Решение. Используя схему (6), получим, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Для системы (I) имеем:

Слайд 15: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 15

Первое неравенство системы (I) приводим к виду:

На числовой прямой Ox дано графическое представление решения первого неравенства системы (I).

Слайд 16: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 16

Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем:

Следовательно, решением системы (II) будет Объединяя решения (I) и (II), получаем ответ.

Слайд 17: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 17

При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условии равносильное не равенство, то есть систему неравенств

Слайд 18: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 18

Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное неравенство выполняется на области его определения, т.е. получаем систему неравенств

Слайд 19: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 19

Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим

Слайд 20: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 20

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Слайд 21: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 21

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Обозначим . Тогда выразим x = t 2 + 2 и приведем данное неравенство к виду

Так как t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при

Отсюда получаем
Слайд 22: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 22

Возвращаемся к переменной x :

Слайд 23: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 23

Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство

Решение. Область определения данного неравенства определяется условиями:

Запишем исходное неравенство в следующем виде

Слайд 24: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 24

Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе части неравенства (*) на получим неравенство, равносильное исходному:

Левая и правая части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5

Слайд 25: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 25

С учетом условия - 0,5 < x < 8 получаем ответ.

Слайд 26: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 26

Неравенства, содержащие показательные выражения

Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.

Слайд 27: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 27
В частности:
Слайд 28: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 28

Пример 8. Решите неравенство

Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x определяется условием:

При допустимых значениях переменной преобразуем левую часть данного неравенства

Слайд 29: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 29

Получаем неравенство

2-й способ. Так как

то, используя схему (12), получаем:

Слайд 30: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 30

Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)<0 использована стандартная схема решения логарифмических неравенств (см. раздел неравенства, содержащие логарифмические выражения»).

Слайд 31: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 31

Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x <1. Решение. Приведем неравенство к виду (x2 + x +1) x < (x2+x +1)0 и воспользуемся схемой (9).

Решим систему (1) полученной совокупности:

Решим систему (2) совокупности:

Слайд 32: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 32

При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Выражение (x2 + x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенства

lg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1) <0

Слайд 34: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 34

Неравенства, содержащие логарифмические выражения

Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в которых используют потенцирование обеих частей неравенства.

В частности: ● Если число a >1, то

Слайд 35: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 35

● Если число 0 < a < 1, то

Слайд 36: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 36

Пример 10. Решите неравенство log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3) Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию 0 < 0,1 < 1, то, используя схему (19), получаем, что данное неравенство равносильно системе

Слайд 37: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 37

Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств

В соответствии со схемой (17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

Слайд 38: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 38
Слайд 39: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 39

Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Слайд 40: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 40

Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы равенства:

то исходное неравенство приводится к виду

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве

Слайд 41: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 41

С учетом области определения данного неравенства

получаем ответ.
Слайд 42: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 42

Неравенства, содержащие выражения с модулями

Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Слайд 44: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 44

Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.

Слайд 45: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 45

Пример 14. Решите неравенство

Решение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильно системе неравенств

или после приведения подобных членов

Слайд 46: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 46

Пример 15. Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно следующему

Используя схему (23), получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности неравенств

Слайд 47: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 47

Пример 16. Решите неравенство

Решение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Используя схемы (20) и (22), получаем, что эта совокупность равносильна следующей.

Слайд 48: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 48

Для решения неравенств вида:

где символ / заменяет один из знаков неравенств: применяют метод промежутков. Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корни совокупности уравнений

Слайд 49: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 49

На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному.

Пример 17. Решите неравенство

Решение. Решением совокупности

являются числа 1 и 2.

Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка

Слайд 50: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 50

Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков

+ _

Если x<1, то исходное неравенство равносильно неравенству - x +1- x + 2 > 3 + x , x < 0 . Получаем, что x < 0 есть решение исходного неравенства на рассматриваемом промежутке. Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x <-2 . Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Слайд 51: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 51

Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1+ x - 2 > 3+ x , x > 6 . Получаем, что x > 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. Объединяя полученные решения, запишем ответ.

Слайд 52: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 52

Расщепление неравенств

Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а правая часть равна нулю, то схема решения неравенства опирается на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.

Слайд 54: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 54

Пример 18. Решите неравенство

Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду:

В соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности систем (I) и (II):

Слайд 55: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 55

Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем:

Для неравенства (2) имеем:

Слайд 56: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 56

Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1), имеем:

Слайд 57: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 57

Значит все значения – решения системы (II). Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ.

Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая ограничения

имеем:
Слайд 58: Презентация МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ С3) - 1
Слайд 58

Используемая литература: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.


Другие презентации по математике



  • Яндекс.Метрика
  • Рейтинг@Mail.ru